Формула бернулли в excel

Лабораторная работа №3-4

Схема повторных независимых испытаний

Распределение Бернулли, Пуассона, Лапласа

Цель данной работы – изучить задачу теории вероятностей о повторении однородных независимых испытаний. Для небольшого числа испытаний n

В строках 5 и 6 задаем значения параметров n = 10, p = 0,1. В следующих строках вычисляем q = 1 – p, M = S m P_n(m), D = S m 2 P_n(m) – M^2, M-3Sm = M – 3*КОРЕНЬ(D), M+3Sm = M + 3*КОРЕНЬ(D). Последние 4 формулы можно набрать позже, когда будет заполнен диапазон B14:B24, содержащий значения P_n(m). Отметим полезный прием: в столбце А записываем текст и сдвигаем его вправо, а в столбце В – вычисляем числовое значение и сдвигаем его влево. Получается понятный комментарий к выполненным действиям. Лист Excel, помимо всего прочего, является отчетным документом, поэтому не стоит экономить на комментариях и заголовках. Из информации в строках 8 – 11 первого блока, видно, что, действительно, M = np = 10´0,1 = 1; D = npq = 10´0,1´0,9 = 0,9; и что все вероятные значения m не превзойдут 4.

Значения P_n(m) удобно вычислять по реккурентной формуле (эта формула приведена в строке 3 рабочего листа). Начальное значение P_n(0) = q n вычисляем в ячейке В14. При наборе реккурентной формулы в ячейке В15 следует зафиксировать (знаками $) неизменяемые значения n, p, q. Далее формула копируется ниже до ячейки В24.

Заполнив первый блок, копируем его несколько раз вправо и в новых блоках заменяем значение параметра p на p = 0,3; p = 0,5; p = 0,7; p = 0,9. Все автоматически пересчитывается. В блоках серым фоном выделены значения P_n(m), которые признаны значимыми по правилу «3-х сигм».

Теперь строим графики. Выделяем значения m вместе с заголовком в ячейке А13, далее при нажатой клавише Ctrl выделяем мышкой значения P_n(m) для p = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9. Выделять диапазоны надо вместе с заголовками в строке 13, тогда эти заголовки автоматически будут отображены в легенде (пояснениях к каждой линии на графике). Вызываем Мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы – точечная, легенда – внизу, линии сетки – основные, заголовок: “Распределение Бернулли при разных p (n=10)”. В результате получаем следующий график, который почти не требует дополнительного форматирования:

Из этого графика видно, как меняется асимметрия распределения при увеличении параметра p: при p = 0,5 распределение симметричное, при p 0,5 – скошено вправо (отрицательная асимметрия).

Как уже указывалось выше, заголовки из строки 13 автоматически переносятся в легенду диаграммы. Но тогда хотелось бы, чтобы они автоматически корректировались при изменении параметра p. Поэтому в качестве заголовка в ячейке В13 набрана формула =»р=»&ТЕКСТ(B9;»0,0″). Функция ТЕКСТ(Число;Формат) переводит в символьную форму значение p из ячейки В9; в тексте заголовка это число будет округлено до одного знака после запятой. Остальные заголовки в строке 13 корректируются автоматически при копировании.

Теперь переходим к изучению зависимости распределения Бернулли от второго параметра n. Скопируем все 5 готовых блоков вправо, начиная со столбца K, и заменим в новых блоках значения параметров: n = 10, 20, 30, 40, 50 и p = 0,1 (для всех новых блоков). Естественно, новые таблицы надо продлить вниз до строки 64 (они теперь будут иметь разную длину). Ненужную информацию можно скрыть с помощью условного форматирования. Так, таблица для n = 10 фактически обрывается на строке 24, поэтому можно сделать так, чтобы дальнейшие значения m и нулевые значения P_n(m) выводились серым цветом на белом фоне (тогда они почти не будут видны). Условный формат для колонки m задаем по условию:

Обратите внимание, что в ссылке на ячейку L8 зафиксирован только номер строки. Для колонки P_n(m) с заголовком n=10 условие будет более простое: значение равно 0 . При копировании отформатированного блока, копируются также все условные форматы.

Наконец, надо заменить заголовки в строке 13 на формулы =»n=»&ТЕКСТ(L8;»0″).

Интересно, что хотя таблицы продолжаются до строки 64, фактически (согласно правилу «3-х сигм») их можно было оборвать на строке 25 (это отразится только на значениях M и D в строках 8, 9). Все готово для построения нового графика, из которого будет видно, как с увеличением n распределение Бернулли приближается к некой стандартной форме – к распределению Лапласа, или к, так называемому, нормальному закону распределения Гаусса.

Считается, что при n ³ 30 распределение уже практически нормальное. Этот вопрос еще будет обсуждаться ниже при изучении распределения Лапласа. Там же рассмотрим применение кумуляты.

Очень часто при работе в Excel необходимо использовать вычисления вероятности появления некоторого события. Для этого используется статистическая функция ВЕРОЯТНОСТЬ.

Примеры использования функции вероятность для расчетов в Excel

Стоит отметить, что используются часто в Excel и другие статистические функции, к примеру:

Функция выполняет вычисление вероятности того, что значения с интервала находятся в заданных пределах. В случае, если верхний предел не будет задан, то будет возвращена вероятность того, что значения аргумента x_интервал будет равно значению аргумента под названием нижний_предел.

Вычисление процента вероятности события в Excel

Пример 1. Дана таблица диапазона числовых значений, а также вероятностей, которые им соответствуют:

Необходимо при использовании данной статистической функции вычислить вероятность события, что значение с указанного интервала входит в интервал [1;4].

Для этого введем функцию со следующими аргументами:

• х_интервал – это начальные данные (0, …, 4);
• интервал вероятностей является множеством вероятностей для начальных данных (0,15; 0,1; 0,15; 0,2; 0,4);
• нижний предел равен значению 1;
• верхний предел равен 4.

В результате выполненных вычислений получим:

Пример 2. В условии предыдущего примера нужно вычислить вероятность события «значение х равно 4».

Введем в ячейку С3 введем функцию с такими аргументами:

• х_интервал – начальные параметры (0, …, 4);
• интервал вероятностей – совокупность вероятностей для параметров (0,1; 0,15; 0,2; 0,15; 0,4);
• нижний предел – 4;

В данном примере верхний предел не указан, поскольку необходимо конкретное значение вероятности, а именно для значения 4.

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ при нескольких условиях интервалов

Пример 3. В условии примера 1 нужно вычислить вероятность того, что значения интервала [0; 4] будут находится находятся внутри интервалов [0;1] и [3;4].

Описание формул аналогичные предыдущим примерам.

В результате выполненных вычислений получим:

Таким образом составив формулу можно с помощью данной функции вычислить процент вероятности при нескольких условиях.

В этой статье я расскажу о том, как решать задачи на применение формулы Бернулли в Эксель. Разберем формулу, типовые задачи – решим их вручную и в Excel. Вы разберетесь со схемой независимых ипытаний и сможете использовать расчетный файл эксель) для решения своих задач. Удачи!

Схема независимых испытаний

В общем виде схема повторных независимых испытаний записывается в виде задачи:

Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых (вероятность успеха) равна $p$, вероятность ненаступления (неуспеха) – соответственно $q=1-p$. Найти вероятность, что событие $A$ наступит в точности $k$ раз в $n$ опытах.

Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли:

$$ P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^=C_n^k cdot p^k cdot q^. qquad(1) $$

Данная схема описывает большой пласт задач по теории вероятностей (от игры в лотерею до испытания приборов на надежность), главное, выделить несколько характерных моментов:

• Опыт повторяется в одинаковых условиях несколько раз. Например, кубик кидается 5 раз, монета подбрасывается 10 раз, проверяется 20 деталей из одной партии, покупается 8 однотипных лотерейных билетов.
• Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова. Этот пункт связан с предыдущим, рассматриваются детали, которые могут оказаться с одинаковой вероятностью бракованными или билеты, которые выигрывают с одной и той же вероятностью.
• События в каждом опыте наступают или нет независимо от результатов предыдущих опытов. Кубик падает случайно вне зависимости от того, как упал предыдущий и т.п.

Если эти условия выполнены – мы в условиях схемы Бернулли и можем применять одноименную формулу. Если нет – ищем дальше, ведь классов задач в теории вероятностей существенно больше (и о решении некоторых написано тут): классическая и геометрическая вероятность, формула полной вероятности, сложение и умножение вероятностей, условная вероятность и т.д.

Подробнее про формулу Бернулли и примеры ее применения можно почитать в онлайн-учебнике. Мы же перейдем к вычислению с помощью программы MS Excel.

Формула Бернулли в Эксель

Для вычислений с помощью формулы Бернулли в Excel есть специальная функция =БИНОМ.РАСП() , выдающая определенную вероятность биномиального распределения.

Чтобы найти вероятность $P_n(k)$ в формуле (1) используйте следующий текст =БИНОМ.РАСП($k$;$n$;$p$;0) .

Покажем на примере. На листе подкрашены ячейки (серые), куда можно ввести параметры задачи $n, k, p$ и получить искомую вероятность (текст полностью виден в строке формул вверху).

Пример применения формулы на конкретных задачах мы рассмотрим ниже, а пока введем в лист Excel другие нужные формулы, которые пригодятся в решении:

Выше на скриншоте введены формулы для вычисления следующих вероятностей (помимо самих формул для Excel ниже записаны и исходные формулы теории вероятностей):

• Событие произойдет в точности $k$ раз из $n$:
  =БИНОМ.РАСП(k;n;p;0)
  $$P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot q^$$
• Событие произойдет от $k_1$ до $k_2$ раз:
  =БИНОМ.РАСП(k_2;n;p;1) – БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;0)
  $$P_n(k_1le X le k_2)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
• Событие произойдет не более $k_3$ раз:
  =БИНОМ.РАСП(k_3;n;p;1)
  $$P_n(0le X le k_3)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
• Событие произойдет не менее $k_4$ раз:
  =1 – БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;0)
  $$P_n(k_4le X le n)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
• Событие произойдет хотя бы один раз:
  =1-БИНОМ.РАСП(0;n;p;0)
  $$P_n( X ge 1)=1-P_n(0)=1-q^$$
• Наивероятнейшее число наступлений события $m$:
  =ОКРУГЛВВЕРХ(n*p-q;0)
  $$np-q le m le np+p$$

Вы видите, что в задачах, где нужно складывать несколько вероятностей, мы уже используем функцию вида =БИНОМ.РАСП(k;n;p;1) – так называемая интегральная функция вероятности, которая дает сумму всех вероятностей от 0 до $k$ включительно.

Примеры решений задач

Рассмотрим решение типовых задач.

Пример 1. Произвели 7 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 5 попаданий; от 6 до 7 попаданий в цель.

Решение. Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (выстрелах), всего их $n=7$, вероятность попадания при каждом одинакова и равна $p=0,75$, вероятность промаха $q=1-p=1-0,75=0,25$. Нужно найти, что будет ровно $k=5$ попаданий. Подставляем все в формулу (1) и получаем:

$$ P_7(5)=C_<7>^5 cdot 0,75^5 cdot 0,25^2 = 21cdot 0,75^5 cdot 0,25^2= 0,31146. $$

Для вероятности 6 или 7 попаданий суммируем:

$$ P_7(6)+P_7(7)=C_<7>^6 cdot 0,75^6 cdot 0,25^1+C_<7>^7 cdot 0,75^7 cdot 0,25^0= \ = 7cdot 0,75^6 cdot 0,25+0,75^7=0,44495. $$

А вот это решение в файле эксель:

Пример 2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье:
1. Ровно 2 мальчика
2. От 4 до 5 мальчиков
3. Не более 2 мальчиков
4. Не менее 7 мальчиков
5. Хотя бы один мальчик
Каково наиболее вероятное число мальчиков и девочек в семье?

Решение. Сначала запишем данные задачи: $n=10$ (число детей), $p=0,5$ (вероятность рождения мальчика). Формула Бернулли принимает вид: $$P_<10>(k)=C_<10>^k cdot 0,5^kcdot 0,5^<10-k>=C_<10>^k cdot 0,5^<10>$$ Приступим к вычислениям:

$$1. P_<10>(2)=C_<10>^2 cdot 0,5^ <10>= frac<10!><2!8!>cdot 0,5^ <10>approx 0,044.$$ $$2. P_<10>(4)+P_<10>(5)=C_<10>^4 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^5 cdot 0,5^<10>=left( frac<10!> <4!6!>+ frac<10!> <5!5!>
ight)cdot 0,5^ <10>approx 0,451.$$ $$3. P_<10>(0)+P_<10>(1)+P_<10>(2)=C_<10>^0 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^1 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^2 cdot 0,5^<10>=left( 1+10+ frac<10!> <2!8!>
ight)cdot 0,5^ <10>approx 0,055.$$ $$4. P_<10>(7)+P_<10>(8)+P_<10>(9)+P_<10>(10)=\ = C_<10>^7 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^8 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^9 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^10 cdot 0,5^ <10>=\=left(frac<10!><3!7!>+ frac<10!> <2!8!>+ 10 +1
ight)cdot 0,5^ <10>approx 0,172.$$ $$5. P_<10>(ge 1)=1-P_<10>(0)=1-C_<10>^0 cdot 0,5^ <10>= 1- 0,5^ <10>approx 0,999.$$

Наивероятнейшее число мальчиков найдем из неравенства:

$$ 10 cdot 0,5 – 0,5 le m le 10 cdot 0,5 + 0,5, \ 4,5 le m le 5,5,\ m=5. $$

Наивероятнейшее число – это 5 мальчиков и соответственно 5 девочек (что очевидно и по здравому смыслу, раз их рождения вероятность одинакова).

Проведем эти же расчеты в нашем шаблоне эксель, вводя данные задачи в серые ячейки:

Видно, что ответы совпадают.

Пример 3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,3. Куплено 8 билетов. Найти вероятность того, что а) хотя бы один билет выигрышный; б) менее трех билетов выигрышные. Какое наиболее вероятное число выигрышных билетов?

Решение. Полное решение этой задачи можно найти тут, а мы сразу введем данные в Эксель и получим ответы: а) 0,94235; б) 0,55177; в) 2 билета. И они совпадут (с точностью до округления) с ответами ручного решения.

Решайте свои задачи и советуйте наш сайт друзьям. Удачи!