Условный экстремум метод множителей лагранжа

Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $varphi (x,y)=0$.

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $varphi(x,y)=0$. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует $y=psi(x)$, то подставив $y=psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получим функцию одной переменной $z=fleft(x,psi(x)
ight)$. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.

Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)$ (параметр $lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_^<”>dx^2+2F_^<”>dxdy+F_^<”>dy^2$. Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z=f(x,y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F 0$, то $d^2F 0$, т.е. имеем условный минимум функции $z=f(x,y)$.

Примечание относительно формы записи определителя $H$. показатьскрыть

Некоторые авторы записывают определитель $H$ в иной форме (с знаком "-"):

В этой ситуации сформулированное выше правило изменится следующим образом: если $H > 0$, то функция имеет условный минимум, а при $H m$):

Обозначив множители Лагранжа как $lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_m$, составим функцию Лагранжа:

Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:

Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F 0$, поэтому в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x,y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_<max>=z(1;3)=10$.

Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем: $H=8cdotleft| egin 0 & x & y\ x & lambda & 0 \ y & 0 & lambda end
ight|= 8cdotleft| egin 0 & -1 & -3\ -1 & 1/2 & 0 \ -3 & 0 & 1/2 end
ight|=-40$. Так как $H 0$. Следовательно, знак $H$ противоположен знаку $lambda$. Можно и довести вычисления до конца:

Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:

Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т.е. $left( dx
ight)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $lambda_1=-frac<1><2>$ получим $d^2F 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_<max>=frac<500><243>$.

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:

Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

Так как $ d^2F Bigr|_=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ является точкой условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$. Аналогично, $d^2F Bigr|_=-10 dx^2 0$, то $M_1$ – точка минимума функции $u(x)$, при этом $u_<min>=u(0)=0$. Так как $u_^<”>(M_2) 0; ; y > 0. end
ight. $$

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; ; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $lambda=-frac<5x>$ и подставим найденное значение в первое уравнение: $5y-frac<5x>cdot frac<4>=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Подставляя $x=2y$ в третье уравнение, получим: $frac<4y^2><8>+frac<2>-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.

Так как $y=1$, то $x=2$, $lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $lambda=-10$, получив при этом:

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

Подставляя $x=2$, $y=1$, $lambda=-10$, получим:

Так как $d^2F=-10cdot dx^2 of your page –>

Понятие условного экстремума.

Пусть на открытом множестве (G subset oldsymbol^) заданы функции (f_<0>(x)), (f_<1>(x), ldots, f_(x)), причем (m Определение 1.

Точка (x^ <0>= (x_<1>^<0>, ldots, x_^<0>) in G) называется точкой условного минимума функции (f_<0>(x)) при наличии связей eqref, если найдется такая окрестность (S_<delta>(x^<0>)), что для всех (x in G cap S_<delta>(x^<0>)) выполнено неравенство (f_<0>(x) geq f_<0>(x^<0>)).

Точка (x^ <0>in G) называется точкой строгого условного минимума функции (f_<0>(x)) при наличии связей eqref, если найдется такая окрестность (S_<delta>(x^<0>)), что для всех (x in dot_<delta>(x^<0>) cap G) выполнено неравенство (f_<0>(x) geq f_<0>(x^<0>)).

Аналогично определяются точки условного максимума. Точки условного максимума и минимума называются точками условного экстремума.

Прямой метод отыскания точек условного экстремума.

Предположим, что из системы уравнений eqref можно выразить какие-либо (m) переменных (x_) через остальные переменные. Тогда, подставив вместо соответствующих переменных (x_) их выражения через остальные (n-m) переменных в функцию (f_<0>(x)), получим функцию (F) от (n-m) переменных.

Задача о нахождении точек экстремума функции (f_<0>(x)) при наличии связей eqref сведется к задаче нахождения обычного (безусловного) экстремума функции (F), зависящей от (n-m) переменных.

Найти точки условного экстремума функции (z = 1-x^<2>-y^<2>), если (x+y = 1).

(vartriangle) Уравнение связи (x+y = 1) легко разрешается относительно переменной (y), а именно (y = 1-x). Подставив это выражение для (y) в функцию (z = 1-x^<2>-y^<2>), получаем, что (z = 1-x^<2>-(1-x)^ <2>= 2x-2x^<2>). Функция (2x-2x^<2>) имеет максимум при (x = frac<1><2>). Точка ((frac<1><2>, frac<1><2>)) является точкой условного максимума функции (z(x, y)) при наличии связи (x+y = 1), причем (z_ <max>= displaystylefrac<1><2>). (lacktriangle)

Прямой метод нахождения условного экстремума редко бывает эффективным ввиду трудности разрешения уравнений связей относительно какой-либо группы переменных.

Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию (n+m) переменных
$$
L(x, lambda) = f_<0>(x)+lambda_<1>f_<1>(x)+ldots+lambda_f_(x),
onumber
$$
где (x in G), а (lambda = (lambda_<1>, ldots, lambda_) in oldsymbol^). Числа (lambda_<1>, ldots, lambda_) называются множителями Лагранжа, а функция (L(x, lambda)) называется функцией Лагранжа.

Пусть (x^<0>) — точка условного экстремума функции (f_<0>(x)) при наличии связей eqref, и пусть функции (f_(x)), (i = overline<0, m>), непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (x^<0>), причем в точке (x^<0>) ранг матрицы Якоби
$$
A = egindisplaystylefrac<partial f_<1>><partial x_<1>>(x)&ldots&displaystylefrac<partial f_<1>><partial x_>(x)\………&…..&…….\displaystylefrac<partial f_><partial x_<1>>(x)&ldots&displaystylefrac<partial f_><partial x_>(x)endlabel
$$
равен (m).

Тогда найдутся такие множители Лагранжа (lambda_<1>^<0>, ldots, lambda_^<0>), что ((x^0, lambda^0)) будет стационарной точкой функции Лагранжа.

(circ) Так как (m Теорема 2.

Пусть (x^<0>) есть точка условного минимума функции (f_<0>(x)) при наличии связей eqref, и пусть функции (f_(x)), (i = overline<1, m>), имеют непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки (x^<0>), причем в точке (x^<0>) ранг функциональной матрицы eqref равен (m).

Тогда найдутся множители Лагранжа (lambda_<1>^<0>, ldots, lambda_^<0>) такие, что ((x^<0>, lambda^<0>)) есть стационарная точка функции Лагранжа, a (d^<2>L(x^<0>, lambda^<0>) geq 0) при ((dx_<1>, ldots, dx_) in E_).

(circ) Так как выполнены все условия теоремы 1, то найдутся множители Лагранжа (lambda_<1>^<0>, ldots, lambda_^<0>) такие, что ((x^<0>, lambda^<0>)) будет стационарной точкой функции Лагранжа, то есть выполняются условия eqref. Повторяя рассуждения теоремы 1, рассмотрим сложную функцию eqref, имеющую безусловный экстремум в точке ((x_^<0>, ldots, x_^<0>)). Так как эта функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то, в силу теоремы о необходимом условии минимума должно быть выполнено условие (d^<2>F(x_^<0>, ldots, x_^<0>) geq 0).

Воспользовавшись правилом нахождения второго дифференциала сложной функции и формулой eqref, находим, что
$$
sum_^ sum_^ frac <partial^<2>f_<0>(x^<0>)> <partial x_partial x_> dx_ dx_+sum_^ frac <partial^<2>f_<0>><partial x_>(x^<0>) d^<2>x_ geq 0.label
$$

Если умножить каждое из равенств eqref на соответствующий множитель Лагранжа (lambda_^<0>) и сложить с неравенством eqref, то получаем неравенство
$$
d_^<2>L(x^<0>, lambda^<0>)+sum_^ frac<partial L(x^<0>, lambda^<0>)><partial x_> d^<2>x_ geq 0.label
$$
Последняя сумма в неравенстве eqref равна нулю, так как ((x^<0>, lambda^<0>)) есть стационарная точка функции Лагранжа и в ней выполняются условия eqref. Таким образом, (d_^<2>L(x^<0>, lambda^<0>) geq 0) при ((dx_<1>, ldots, dx_) in E_). (ullet)

(Достаточные условия условного экстремума).

Пусть функции (f_(x)), (i = overline<0, m>), имеют непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки (x^ <0>in oldsymbol^), причем в точке (x^<0>) ранг функциональной матрицы (3) равен (m), и пусть ((x^<0>, lambda^<0>)) есть стационарная точка функции Лагранжа (L(x, lambda)).

Тогда если (d_L(x^<0>, lambda^<0>)) есть положительно определенная квадратичная форма при (dx in E_), то (x^<0>) является точкой условного строгого минимума функции (f_<0>(x)) при наличии связей eqref. Если (d_L(x^<0>, lambda^<0>)) есть отрицательно определенная квадратичная форма при (dx in E_), то (x^<0>) — точка условного строгого максимума. Если (d_L(x^<0>, lambda^<0>)) есть неопределенная квадратичная форма при (dx in E_), то (x^<0>) не есть точна условного экстремума функции (f_<0>(x)) при наличии связей eqref.

(circ) Пусть
$$
E = (x) = 0, i = overline<1, m>>.label
$$
По условию теоремы функции (f_(x)), (i = overline<0, m>), имеют непрерывные частные производные второго порядка, а ранг функциональной матрицы eqref равен (m). Повторяя рассуждения теоремы 1, можем без ограничения общности считать, что выполнено условие eqref и что найдется такая окрестность (K(x^<0>) = K_<1>(x_<1>^<0>, ldots, x_^<0>) imes K_<2>(x_^<0>, ldots, x_^<0>)), что множество (E cap K(x^<0>)) можно задать формулой eqref. На (E cap K(x^<0>)) функция (f_<0>(x)) становится функцией (n-m) переменных (F(x_^<0>, ldots, x_^<0>)), определенной формулой eqref и имеющей непрерывные частные производные второго порядка.

Рассмотрим функцию (L(x, lambda^<0>)) на множестве (E cap K(x^<0>)). Очевидно, что
$$
L(x, lambda^<0>) = f_<0>(x) = F(x_, ldots, x_) mbox<при> x in E cap K(x^<0>).label
$$
В силу инвариантности формы первого дифференциала из формулы eqref следует, что
$$
dF(x_^<0>, ldots, x_^<0>) = d_L(x^<0>, lambda^<0>) = 0.label
$$

Пусть (d_^<2>L(x^<0>, lambda^<0>) > 0) при (dx in E_), (dx
eq 0). Так как множество (E cap K(x^<0>)) можно задать в форме eqref, то, выбирая (dx_, ldots, dx_) произвольным образом, получим, что дифференциалы (dx_<1>,…, dx_) зависят от ((dx_, ldots, dx_)). Дифференцируя тождества eqref в точке (x^<0>), получаем соотношения eqref, которые означают, что (dx in E_).

Из eqref и eqref получаем, что ((x_^<0>, ldots, x_^<0>)) есть точка строгого минимума функции (F(x_, ldots, x_)), то есть (x^<0>) есть точка строгого минимума функции (f_<0>(x)) на множестве (E cap K(x^<0>)). Таким образом, (x^<0>) есть точка строгого условного минимума функции (f_<0>(x)) при наличии связей eqref.

Аналогично рассматривается случай, когда (d_^<2>L(x^<0>, lambda^<0>) Замечание.

Если окажется, что (d_^<2>L(x^<0>, lambda^<0>)) есть положительно определенная квадратичная форма на всем пространстве (oldsymbol^), то (d_^<2>L(x^<0>, lambda^<0>) > 0) при (dx in E_), (dx
eq 0). Поэтому в этом случае в квадратичной форме (d_^<2>L(x^<0>, lambda^<0>)) не нужно исключать зависимые дифференциалы.

Найти экстремумы функции (x-2y+2z = u) и на сфере (x^<2>+y^<2>+z^ <2>= 1).

(vartriangle) Строим функцию Лагранжа
$$
L(x, y, z, lambda) = x-2y+2z+lambda(x^<2>+y^<2>+x^<2>-1)
onumber
$$
Стационарные точки функции Лагранжа находим, решая систему уравнений
$$
frac<partial L> <partial x>= 1+2lambda x = 0,quad frac<partial L> <partial y>= -2+2lambda y = 0,quad frac<partial L> <partial z>= 2+2lambda z = 0,
onumber
$$
$$
frac<partial L> <partial lambda>= x^<2>+y^<2>+z^<2>-1 = 0.
onumber
$$
Исключая из этой системы (x, y, z), получаем (displaystyleleft(frac<1><2lambda>
ight)^<2>+left(frac<1><lambda>
ight)^<2>+left(frac<1><lambda>
ight)^<2>-1 = 0), откуда (lambda_ <1>= displaystylefrac<3><2>), (lambda_ <2>= -displaystylefrac<3><2>).

У функции Лагранжа есть две стационарные точки,
$$
M_ <1>= left(-frac<1><3>, frac<2><3>, -frac<2><3>, frac<3><2>
ight)quad mbox<и>quad M_ <2>= left(frac<1><3>, -frac<2><3>, frac<2><3>, -frac<3><2>
ight).
onumber
$$

Так как (d^<2>L(M_<1>) = 3(dx^<2>+dy^<2>+dz^<2>) > 0), a (d^<2>L(M_<2>) = -3(dx^<2>+dy^<2>+dz^<2>) 0), тo (displaystyleleft(-frac<1><3>, frac<2><3>, -frac<2><3>, frac<3><2>
ight)) — точка условного минимума, a (displaystyleleft(frac<1><3>, -frac<2><3>, frac<2><3>, -frac<3><2>
ight)) — точка условного максимума функции (u = x-2y+2x) при наличии ограничения (x^<2>+y^<2>+z^<2>-1 = 0), Причем (u_ <min>= -3), (u_ <max>= 3). (lacktriangle)

Найти условные экстремумы функции (f_<0>(x, y) = e^), (a
eq 0), при наличии ограничения (f_(x, y) = x^<3>+y^<3>+x+y-4 = 0).

(vartriangle) Построим функцию Лагранжа:
$$
L(x, y) = e^+lambda(x^<3>+y^<3>+x+y-4).
onumber
$$
Стационарные точки функции Лагранжа определяются из системы уравнений
$$
egin
& displaystylefrac<partial L> <partial x>= aye^+lambda(3x^<2>+1) = 0,\
&\
& displaystylefrac<partial L> <partial y>= axe^+lambda(3y^<2>+1) = 0,\
&\
& displaystylefrac<partial L> <partial lambda>= x^<3>+y^<3>+x+y-4 = 0.
endlabel
$$

Умножая первое уравнение на (x), а второе на (y) и вычитая, получаем
$$
lambda(3x^<3>-3y^<3>+x-y) = lambda(x-y)(3x^<2>+3xy+3y^<2>+1) = 0.label
$$

Если (lambda = 0), то из первых двух уравнений eqref получаем (x = y = 0). Но (x = y = 0) не удовлетворяет уравнению связи. Итак, (lambda
eq 0), поэтому из eqref следует, что (x = y) (второй сомножитель всегда положителен: (3(x^<2>+xy+y^<2>)+1 > 0)). Подставляя (x = y) в уравнение связи, получаем (x^<3>+x = 2), (x = y = 1). Первое из уравнений eqref дает при (x = y = 1) значение (lambda = -displaystylefrac <4>e^).

Поэтому при (a 0) — условный максимум функции (f_<0>(x, y)) при наличии связи (x^<3>+y^<3>+x+y = 4), причем экстремальное значение функции равно (e^). (lacktriangle)

Уравнение связи (x^<3>+y^<3>+x+y = 4) было бы затруднительно разрешить относительно одной из переменных. Метод Лагранжа для примера 2 более эффективен, чем прямой метод исключения зависимых переменных.

Несколько замечаний о методе множителей Лагранжа.

Задачи об отыскании экстремумов функций (как числовых, так и функций более общей природы) при наличии ограничений являются весьма распространенными. Теория экстремальных задач интенсивно развивается и находит широкий круг приложений. Здесь были рассмотрены ограничения типа равенств, задаваемые достаточно гладкими функциями (гладкие связи). Метод множителей Лагранжа имеет глубокие обобщения и на более общий случай, когда ограничения задаются системой равенств и неравенств при помощи недифференцируемых в обычном смысле функций.

В конкретных прикладных вопросах множители Лагранжа имеют содержательную интерпретацию. Так, в механике множители Лагранжа задают реакции связей, а в математической экономике — цены на продукты производства. Широко развиты приближенные методы решения экстремальных задач, использующие современную вычислительную технику.

Условный экстремум

Уравнения будем называть уравнениями связи.

Определение (Точка условного экстремума) Пусть на задана функция . Точка будет называться точкой условного экстремума функции относительно уравнений связи , если она является точкой обычного экстремума этой функции, рассматриваемой только на множестве Е.

Иначе говоря, при поиске условного экстремума мы сравниваем значение функции в точке не со всеми значениями этой функции в достаточно малой окрестности , а только со значениями в точках, которые одновременно принадлежат как достаточно малой окрестности , так и множеству .

Пример №1

Исследовать на наличие экстремума функцию при уравнении связи .

Представим как функцию от . Из уравнения связи вытекает , откуда . Таким образом, при выполнении уравнения связи мы получаем функцию от одной переменной. Найти её экстремум не составляет труда: приравнивая к нулю её производную («Необходимое условие экстремума»), получаем , откуда . В этой точке рассматриваемая функция имеет минимум, так как она является многочленом второй степени с положительным коэффициентом при старшем члене. Из уравнения связи находим .

Пример №2

Найти точки условного экстремума функции (если они есть) при уравнении связи .

Имеем , т.е. при выполнении уравнений связи данная функция является функцией одного переменного и достигает минимума при .
Значению согласно уравнению связи соответствует значение , а поэтому функция имеет в точке условный минимум относительно уравнения связи .

Однако, не всегда возможно преобразовать уравнение связи к явному виду (представить одну из переменных, как функцию от остальных переменных). Далее пойдет речь о том, как справиться с этой неприятной ситуацией.

Метод множителей Лагранжа

Предполагается, что все функции являются непрерывно дифференцируемыми (гладкими) на открытом множестве m" title=" G subset mathbb^, n > m" />.

Перед доказательством теоремы, напомним, что означает символ .

Также, нам понадобится свойство этого оператора. Если подействовать им на функцию, то получим вектор градиент.

градиенты линейно независимы, то не является точкой локального экстремума.

Итак, пусть линейно независимы и, следовательно, ранг матрицы Якоби

равен . Тогда в этой матрице существует минор порядка , не равный нулю. Для определенности будем считать, что он образован первыми столбцами, т. е.

Множество — открыто, а потому существует такое 0 " title=" delta_ <0>> 0 " />, что при всех , куб

лежит в , и, следовательно, на нем определены все функции .

и введём следующие обозначения:

Очевидно, функции определены и непрерывно дифференцируемы всюду в Рассмотрим отображение задаваемое формулами

Для точки имеем

Поскольку точка является точкой условного экстремума, она удовлетворяет всем уравнениям связи. Таким образом, для точки имеем Поэтому (по теорему о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения в точке, в которой его якобиан не равен нулю) существует такое 0, " title=" varepsilon > 0, " /> что на окрестности

( см. рисунок , ) определено обратное к отображение, и, следовательно, в любую точку этой окрестности отображается какая-то точка из
В частности, так как при любом имеет место включение то в кубе найдутся точки и отображающиеся при отображении в указанные точки окрестности

Если положим для краткости и то в координатной записи получим

Поскольку число может быть сколь угодно мало, то указанные точки и могут быть выбраны сколь угодно близко от точки и, таким образом, сколь угодно близко от точки имеются точки, удовлетворяющие уравнениям связи, в которых функция принимает значения, как большие, так и меньшие значения Что и означает, что точка не является точкой условного экстремума. Это противоречие и доказывает теорему.

равен , то существуют такие , что в этой точке

то есть является линейной комбинацией градиентов .

В координатной форме это условие имеет вид: для любого в точке

где числа удовлетворяют условию называется функцией Лагранжа рассматриваемой задачи, а сами числа — множителями Лагранжа.

Условие означает, что если является точкой условного экстремума функции относительно уравнений связи то она является стационарной точкой для функции Лагранжа, т. е.

Теперь уже можно поговорить о том, как на практике использовать эти теоремы для нахождения точек условного экстремума. Прежде всего, мы можем заметить, что у функции вида при произвольных числах каждая точка её условного экстремума является и точкой условного экстремума исходной функции и наоборот. Мы выбираем такие значения чтобы выполнялись условия , т. е. чтобы данная точка условного экстремума оказалась и стационарной точкой функции .
Для отыскания точек условного экстремума следует рассмотреть систему из уравнений, составленной из частных производных функции Лагранжа по каждой переменной и уравнений связи (однако, уравнения связи можно рассматривать как частные производные функции Лагранжа по переменным ) относительно неизвестных и решить её (если это возможно), найдя и по возможности исключив . Сформулированная теорема утверждает, что все точки условного экстремума будут находится среди найденных таким образом точек .

Пример №1

Функции и дважды непрерывно дифференцируемы на всей плоскости. Кроме того, ранг матрицы

равен единице (т. е. равно количеству связей) на всей плоскости за исключением точки Но последняя не лежит на окружности Следовательно, точки, в которых возможен локальный экстремум, находятся только среди стационарных точек.
Приравнивая к нулю частные производные функции Лагранжа задачи

по переменным , получим систему уравнений:

Решив её, получим четыре пары стационарных точек соответствующих всевозможным распределениям и . Паре
соответствуют и лагранжева функция

Второй дифференциал от в точке имеет вид

Тогда, в силу уравнения связи

откуда и окончательно

где — независимый дифференциал. Следовательно, в точке имеет место локальный относительный максимум задачи, равный Легко заключить, используя симметрические свойства что в точке имеет место другой локальный относительный максимум, равный .
Так как окружность есть ограниченное замкнутое множество и непрерывная на функция должна достигать на своего максимума, и так как максимум на необходимо есть максимум на то