Уравнение риккати примеры решения

Общее решение этого уравнения можно получить только в некоторых частных случаях.

Решение дифференциального уравнения Риккати при известном частном решении

Рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати:
(1) .
Пусть известно его частное решение :

Тогда подстановкой уравнение Риккати (1) приводится к уравнению Бернулли:
;
;
;
;
.
Это уравнение Бернулли с n = 2 .

Свойства уравнения Риккати

Не меняет вид уравнения:

  • Произвольное преобразование независимого переменного:
  • Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:

При таких подстановках уравнение также является уравнением Риккати, но с другими функциями p, q, r.

Вид общего решения

Общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:

И наоборот если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее уравнение есть уравнение Риккати.

Упрощение уравнения Риккати

Снова рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати:
(1) .
Подстановкой
,
где А – постоянная, оно приводится к виду:
(2) ,
где .

Далее, подстановкой

оно приводится к виду:
(3)
где .

Упрощенное уравнение Риккати

Упрощенное уравнение Риккати – это уравнение вида:
(4) ,
где A, B – постоянные. Оно интегрируется при
,
где – целое.

Покажем это. Сделаем подстановку:
;
.
Подставляем в (4):
.
Умножаем на :
(5) .
Но
.
Подставляем в (5):

Или
(6)
где
.
Уравнение (6) интегрируется при
.
Для этого разделим его на и перепишем в следующем виде:
;
;
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется.

При уравнение (6) можно преобразовать двумя путями.

  1. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду: .
  2. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду:

Таким образом, при , где n – целое число, ряд подстановок приводит к полному решению.

Читайте также:  Как пользоваться компьютерной мышкой

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-08-2012

Уравнение Риккати является одним из наиболее интересных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка . Оно записывается в форме: [y’ = aleft( x
ight)y + bleft( x
ight) + cleft( x
ight),] где (aleft( x
ight),) (bleft( x
ight),) (cleft( x
ight)) − непрерывные функции, зависящие от переменной (x.)

Уравнение Риккати встречается в различных областях математики (например, в алгебраической геометрии и в теории конформных отображений) и физики. Оно также нередко возникает в прикладных математических задачах.

Приведенное выше уравнение называется общим уравнением Риккати . Его решение основано на следующей теореме:

Теорема : Если известно частное решение () уравнения Риккати, то его общее решение определяется формулой [y = + u.] Действительно, подставляя решение (y = + u) в уравнение Риккати, имеем: [ <<left( <+ u>
ight)^prime > > =
+ u>
ight) + bleft( x
ight) <left( <
+ u>
ight)^2> + cleft( x
ight),> ] [ <underline <
^prime > + u’ > = <underline > + aleft( x
ight)u + underline + 2bleft( x
ight)
u + bleft( x
ight) + underline .> ] Подчеркнутые члены в левой и правой части можно сократить, поскольку (
) − частное решение, удовлетворяющее уравнению. В результате мы получаем дифференциальное уравнение для функции (uleft( x
ight):) [u’ = bleft( x
ight) + left[ <2bleft( x
ight)
+ aleft( x
ight)>
ight]u,] которое является уравнением Бернулли . Подстановка (z = largefrac<1>
ormalsize) преобразует данное уравнение Бернулли в линейное дифференциальное уравнение , допускающее интегрирование.

Помимо общего уравнения Риккати, существует множество частных случаев уравнения Риккати с коэффициентами (aleft( x
ight),) (bleft( x
ight),) (cleft( x
ight)) определенного вида. Многие из этих частных случаев имеют интегрируемые решения.

Возвращаясь вновь к общему уравнению Риккати, мы видим, что общее решение можно сконструировать, если известно какое-либо частное решение. К сожалению, не существует строгого алгоритма для нахождения частного решения, которое существенно зависит от вида функций (aleft( x
ight),) (bleft( x
ight)) и (cleft( x
ight).)

Читайте также:  Алиса помоги мне пожалуйста

Ниже мы рассмотрим некоторые хорошо известные частные случаи уравнения Риккати.

Рассмотрим уравнение Риккати вида (y’ = b + c,) когда функция (aleft( x
ight)) при линейном члене равна нулю, коэффициент (b) при () является константой, а (cleft( x
ight)) является степенной функцией: [aleft( x
ight) equiv 0,;;bleft( x
ight) = b,;;cleft( x
ight) = c.] Этот случай уравнения Риккати имеет замечательные решения!

Прежде всего, заметим, что если (n = 0,) то мы снова приходим к случаю (1) , в котором переменные разделяются и уравнение можно проинтегрировать.

Если (n = -2,) то уравнение Риккати преобразутся в однородное уравнение с помощью подстановки (y = largefrac<1>
ormalsize) и далее также допускает интегрирование.

Данное дифференциальное уравнение можно также решить при [n = frac<<4k>><<1 – 2k>>,;; ext<где>;;k = pm 1, pm 2, pm 3, ldots ] Здесь общее решение выражается через цилиндрические функции.

При всех других значениях степени (n) решение уравнения Риккати можно выразить через интегралы от элементарных функций. Этот факт был установлен французским математиком Джозефом Лиувиллем (left( <1809 – 1882>
ight)) в (1841) году.

Многие другие частные случаи уравнения Риккати представлены на сайте EqWorld .

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

где — известные функции, называется уравнением Риккати (обобщенным). Если коэффициенты в уравнении Риккати постоянны, то уравнение допускает разделение переменных, и мы сразу получаем общий интеграл

Как показал Лиувилль, уравнение (1) в общем случае не интегрируется в квадратурах.

Свойства уравнения Риккати

1. Если известно какое-нибудь частное решение уравнения (1), то его общее решение может быть получено при помощи квадратур.

В самом деле, положим

где — новая неизвестная функция. Подставляя (2) в (1), найдем

откуда, в силу того что есть решение уравнения (1) получим

Уравнение (3) является частным случаем уравнения Бернулли.

Читайте также:  Pdf2doc com на русском

Пример 1. Решить уравнение Риккати

зная его частное решение .

Решение. Положим и подставим в уравнение (4); получим

Таким образом, общее решение уравнения (4) .

Замечание. Вместо подстановки (2) часто бывает практически более выгодной подстановка

которая сразу приводит уравнение Риккати (1) к линейному .

2. Если известны два частных решения уравнения (1), то его общий интеграл находится одной квадратурой.

Пусть известны два частных решения и уравнения (1). Используя тот факт, что имеет место тождество

представим уравнение (1) в виде

Для второго частного решения аналогично находим

Вычитая из равенства (5) равенство (6), получаем

Пример 2. Уравнение имеет частные решения . Найти его общий интеграл.

Решение. Используя формулу (7), получаем общий интеграл исходного уравнения

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector