Чтобы можно было умножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.
Алгоритм умножения матриц
Умножаем элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы.
- Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
- Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
- Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
- Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
- Складываем полученные произведения.
- Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
- Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
- Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
- Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
- Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
- Складываем полученные произведения.
- Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
- Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
- Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
- Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.
Пример 7
$A= egin
$B=egin
Заметим, что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки, значит, их можно перемножить.
$B cdot A = egin
Заметим, что $A cdot B
eq B cdot A$
Пример 8
$A= egin
Опять-таки $A cdot B
eq B cdot A$.
Пример 9
$A= egin
Опять-таки $A cdot B
eq B cdot A$.
Заметим, что $A cdot I_ <2>= I_ <2>cdot A=A$.
Пример 11
$A=egin
Опять-таки $A cdot I_ <3>= I_ <3>cdot A = A$.
Примечание:
- В общем случае умножение матриц некоммуникативно.
- $Acdot I_
= I_ cdot A = A$ для любой матрицы A, имеющей n столбцов.
Расчет умножения матриц онлайн. Динамические расчеты, нахождения произведения матриц.
Расчет умножения матриц онлайн. Умножьте матрицы порядка 2×3, 1×3, 3×3, 2×2 с 3×2, 3×1, 3×3, 2×2. Динамические расчеты, нахождения произведения матриц.
Умножение матриц возможно когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
В первой части мы рассмотрим умножение квадратных матриц. В следующей части Вы узнаете, как умножить разные матрицы (например, 2х3 до 3х3).
Здесь мы будем умножать матрицу 3х3 (3 ряда, 3 колонки) на другую матрицу 3х3 (3 ряда, 3 колонки).
Матрица A | Матрица B |
a11 | a12 | a13 |
a21 | a22 | a23 |
a31 | a32 | a33 |
В результате мы получим матрицу 3х3. Нам придется рассчитать каждую клетку результатов матрицы отдельно. Результат выразим через X.
Шаг 1:Рассчитаем x11
Для того, чтобы вычислить результат x11 мы будем использовать первую строку матрицы А и первый столбец матрицы В.
Результат X | Матрица A | Матрица B |
x11 | x12 | x13 |
x21 | x22 | x23 |
x31 | x32 | x33 |
Мы можем представить результат x11 = a11 x b11 + a12 x b21 + a13 x b31
Шаг 2: Рассчитаем x12
Для того, чтобы вычислить результат x12 мы будем использовать первую строку матрицы А и втором столбце матрицы В.
Результат X | Матрица A | Матрица B |
x11 | x12 | x13 |
x21 | x22 | x23 |
x31 | x32 | x33 |
Мы можем представить резальтат x12 = a11 x b12 + a12 x b22 + a13 x b32
По той же методике мы вычислим значения для всех ячеек.
Свойства умножения матриц
- (A · B) · C= A · (B · C) – произведение матриц ассоциативно;
- ( z · A) · B= z · (A · B), где z – число;
- A · (B + C) = A · B + A · C – произведение матриц дистрибутивно;
- E n · A nm = A nm · E m = A nm – умножение на единичную матрицу;
- A · B ≠ B · A – в общем случае произведение матриц не коммутативно.
- Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.
Примеры задач на умножение матриц
С = A · B = 4 2 9 0 · 3 1 -3 4 = 6 12 27 9
Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:
C = A · B = 2 1 -3 0 4 -1 · 5 -1 6 -3 0 7 = 7 -2 19 -15 3 -18 23 -4 17
Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.