Умножение матриц 3х3 формула

Чтобы можно было умножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Алгоритм умножения матриц

Умножаем элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы.

1. Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
2. Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
3. Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
4. Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
5. Складываем полученные произведения.
6. Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
7. Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
8. Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
9. Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
10. Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
11. Складываем полученные произведения.
12. Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
13. Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
14. Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
15. Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.

Пример 7
$A= egin 1 & 2 & 2\ 3 & 1 & 1 end$
$B=egin 4 & 2 \ 3 & 1 \ 1 & 5\ end$

Заметим, что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки, значит, их можно перемножить.

$B cdot A = egin color4 &color2 \ color3 & color1 \ color1 & color5 end egin color1 &color2 & color2\ color3 &color1 & color1 end=$

Заметим, что $A cdot B
eq B cdot A$

Пример 8
$A= egin 5 & 2 \ 3 & 1 end B= egin 4 & 6 \ 5 & 2 end$

Опять-таки $A cdot B
eq B cdot A$.

Пример 9
$A= egin 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 1 end B= egin 5 & 2 & 1 \ 4 & 3 & 2 \ 2 & 1 & 5 end$

Опять-таки $A cdot B
eq B cdot A$.

Заметим, что $A cdot I_ <2>= I_ <2>cdot A=A$.

Пример 11
$A=egin 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 1 end I_<3>= egin 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end$

Опять-таки $A cdot I_ <3>= I_ <3>cdot A = A$.

Примечание:

1. В общем случае умножение матриц некоммуникативно.
2. $Acdot I_ = I_ cdot A = A$ для любой матрицы A, имеющей n столбцов.

Расчет умножения матриц онлайн. Динамические расчеты, нахождения произведения матриц.

Расчет умножения матриц онлайн. Умножьте матрицы порядка 2×3, 1×3, 3×3, 2×2 с 3×2, 3×1, 3×3, 2×2. Динамические расчеты, нахождения произведения матриц.

Умножение матриц возможно когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

В первой части мы рассмотрим умножение квадратных матриц. В следующей части Вы узнаете, как умножить разные матрицы (например, 2х3 до 3х3).

Здесь мы будем умножать матрицу 3х3 (3 ряда, 3 колонки) на другую матрицу 3х3 (3 ряда, 3 колонки).

Матрица A	Матрица B

a11	a12	a13
a21	a22	a23
a31	a32	a33

x b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33

В результате мы получим матрицу 3х3. Нам придется рассчитать каждую клетку результатов матрицы отдельно. Результат выразим через X.

Шаг 1:Рассчитаем x11
Для того, чтобы вычислить результат x11 мы будем использовать первую строку матрицы А и первый столбец матрицы В.

Результат X	Матрица A	Матрица B

x11	x12	x13
x21	x22	x23
x31	x32	x33

= a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33

Мы можем представить результат x11 = a11 x b11 + a12 x b21 + a13 x b31

Шаг 2: Рассчитаем x12
Для того, чтобы вычислить результат x12 мы будем использовать первую строку матрицы А и втором столбце матрицы В.

Результат X	Матрица A	Матрица B

x11	x12	x13
x21	x22	x23
x31	x32	x33

= a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33

Мы можем представить резальтат x12 = a11 x b12 + a12 x b22 + a13 x b32

По той же методике мы вычислим значения для всех ячеек.

Свойства умножения матриц

• (A · B) · C= A · (B · C) – произведение матриц ассоциативно;
• ( z · A) · B= z · (A · B), где z – число;
• A · (B + C) = A · B + A · C – произведение матриц дистрибутивно;
• E _n · A _nm = A _nm · E _m = A _nm – умножение на единичную матрицу;
• A · B ≠ B · A – в общем случае произведение матриц не коммутативно.
• Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Примеры задач на умножение матриц

С = A · B = 4 2 9 0 · 3 1 -3 4 = 6 12 27 9

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

C = A · B = 2 1 -3 0 4 -1 · 5 -1 6 -3 0 7 = 7 -2 19 -15 3 -18 23 -4 17

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.