Треугольный вид матрицы это

треугольная матрица — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?gloss >Справочник технического переводчика

Треугольная матрица — [trian­gular matrix] квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы, расположенные под или над главной диагональю (ср. Диагональная матрица). В первом случае имеем верхнюю Т.м. во втором нижнюю … Экономико-математический словарь

ТРЕУГОЛЬНАЯ МАТРИЦА — квадратная матрица, у к рой все элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю. В первом случае матрица наз. верхней треугольной матрицей, во втором нижней треугольной матрицей. Определитель Т. м. равен произведению всех ее … Математическая энциклопедия

Треугольная матрица МОБ — [triangular input output matrix] матрица коэффициентов межотраслевого баланса (МОБ), соответствующая такой производственной системе, в которой любой продукт может затрачиваться в своем собственном производстве и в производстве любого следующего… … Экономико-математический словарь

треугольная матрица МОБ — Матрица коэффициентов межотраслевого баланса (МОБ), соответствующая такой производственной системе, в которой любой продукт может затрачиваться в своем собственном производстве и в производстве любого следующего за ним продукта, но никакой… … Справочник технического переводчика

Верхняя треугольная матрица — Треугольная матрица квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю. Пример верхнетреугольной матрицы Верхнетреугольная матрица квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.… … Википедия

Блочно-треугольная матрица — [partitionned triangular mat­rix] – матрица, которую можно разбить на подматрицы таким образом, чтобы по одну сторону ее «главной диагонали«, составленной из подматриц, стояли нули. Примерами блочно треугольных матриц могут служить… … Экономико-математический словарь

блочно-треугольная матрица — Матрица, которую можно разбить на подматрицы таким образом, чтобы по одну сторону ее «главной диагонали«, составленной из подматриц, стояли нули. Примерами блочно треугольных матриц могут служить треугольная матрица и блочно диагональная матрица … Справочник технического переводчика

Матрица — [matrix] система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы, над которой можно производить определенные действия. Таблица имеет следующий вид: Элемент матрицы в общем виде обозначается aij это… … Экономико-математический словарь

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2. m; j=1,2. n).

Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j– номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a 11, a 22 . ann образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы aii ( i= 1,2. min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a 1n, a 2n-1 . a n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n , где n – порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:

Читайте также:  Земля из космоса 2018

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i T ).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x– вектор длины n – образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q– произвольные целые неотрицательные числа.

Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

  1. Определение матрицы и её элемента. Обозначения (матрица, размер матрицы, элемент матрицы, равные матрицы).
  2. Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
  3. Виды матриц в зависимости от значений их элементов. (нулевая матрица, трапециевидная матрица, ступенчатая матрица, нижняя треугольная матрица, верхняя треугольная матрица, диагональная матрица, единичная матрица).

Определение матрицы и её элемента. Обозначения.

Матрица – это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $left( egin 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 end
ight)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $left(egin
a & a^9+2 & 9 & sin x \ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8end
ight)$ содержит 2 строки и 4 столбца.

Разные способы записи матриц: показатьскрыть

Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Ниже указана одна и та же матрица в различных формах записи:

Произведение $m imes n$ называют размером матрицы. Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5 imes 3$. Матрица $left(egin 5 & 3\0 & -87\8 & 0end
ight)$ имеет размер $3 imes 2$.

Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=left( egin 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 end
ight)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов – слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.

Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ – это номер строки, а число $j$ – номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы $A=left( egin 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 end
ight)$ расположен элемент $a_<25>=59$:

Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_<11>=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент $a_<32>=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_<32>$ читается как "а три два", но не "а тридцать два".

Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m imes n$, используется запись $A_$. Нередко используется и такая запись:

Здесь $(a_)$ указывает на обозначение элементов матрицы $A$, т.е. говорит о том, что элементы матрицы $A$ обозначаются как $a_$. В развёрнутом виде матрицу $A_=(a_)$ можно записать так:

$$ A_=left(egin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& ldots & a_ <2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots \ a_ & a_ & ldots & a_ end
ight) $$

Читайте также:  Usb кабель в разрезе

Введём еще один термин – равные матрицы.

Запись "$i=overline<1,m>$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=overline<1,5>$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=left(egin 5 & 3\0 & -87\8 & 0end
ight)$ не равна матрице $B=left(egin
8 & -9\0 & -87 end
ight)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3 imes 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2 imes 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=left(egin
5 & 3\98 & -87\8 & 0end
ight)$, поскольку $a_<21>
eq c_<21>$ (т.е. $0
eq 98$). А вот для матрицы $F=left(egin
5 & 3\0 & -87\8 & 0end
ight)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.

Определить размер матрицы $A=left(egin -1 & -2 & 1 \ 5 & 9 & -8 \ -6 & 8 & 23 \ 11 & -12 & -5 \ 4 & 0 & -10 \ end
ight)$. Указать, чему равны элементы $a_<12>$, $a_<33>$, $a_<43>$.

Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5 imes 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_<5 imes 3>$.

Элемент $a_<12>$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_<12>=-2$. Элемент $a_<33>$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_<33>=23$. Элемент $a_<43>$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_<43>=-5$.

Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.

Пусть задана некая матрица $A_$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка. Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец. Например, $left( egin -1 & -2 & 0 & -9 & 8 end
ight)$ – матрица-строка, а $left( egin
-1 \ 5 \ 6 end
ight)$ – матрица-столбец.

Если для матрицы $A_$ верно условие $m
eq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ – прямоугольная матрица. Например, матрица $left( egin -1 & -2 & 0 & 9 \ 5 & 9 & 5 & 1 end
ight)$ имеет размер $2 imes 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.

Если для матрицы $A_$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ – квадратная матрица порядка $n$. Например, $left( egin -1 & -2 \ 5 & 9 end
ight)$ – квадратная матрица второго порядка; $left( egin
-1 & -2 & 9 \ 5 & 9 & 8 \ 1 & 0 & 4 end
ight)$ – квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_$ можно записать так:

$$ A_=left(egin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& ldots & a_ <2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots \ a_ & a_ & ldots & a_ end
ight) $$

Говорят, что элементы $a_<11>$, $a_<22>$, $ldots$, $a_$ находятся на главной диагонали матрицы $A_$. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы $a_<1n>$, $a_<2 ; n-1>$, $ldots$, $a_$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали; их называют побочными диагональными элементами. Например, для матрицы $C=left(egin2&-2&9&1\5&9&8& 0\1& 0 & 4 & -7 \ -4 & -9 & 5 & 6end
ight)$ имеем:

Элементы $c_<11>=2$, $c_<22>=9$, $c_<33>=4$, $c_<44>=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_<14>=1$, $c_<23>=8$, $c_<32>=0$, $c_<41>=-4$ – побочные диагональные элементы.

Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $Tr A$ (или $Sp A$):

Например, для матрицы $C=left(egin 2 & -2 & 9 & 1\5 & 9 & 8 & 0\1 & 0 & 4 & -7\-4 & -9 & 5 & 6 end
ight)$ имеем:

Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=left( egin 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 end
ight)$ главными диагональными элементами будут $b_<11>=2$, $b_<22>=-9$, $b_<33>=4$.

Виды матриц в зависимости от значений их элементов.

Если все элементы матрицы $A_$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой $O$. Например, $left( egin 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 end
ight)$, $left( egin
0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end
ight)$ – нулевые матрицы.

Читайте также:  Пропало рисование в автокаде

Рассмотрим некоторую ненулевую строку матрицы $A$, т.е. такую строку, в которой есть хоть один элемент, отличный от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки назовём её первый (считая слева направо) ненулевой элемент. Для примера рассмотрим такую матрицу:

$$W=left(egin 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 12\ 0 & -9 & 5 & 9 end
ight)$$

Во второй строке ведущим будет четвёртый элемент, т.е. $w_<24>=12$, а в третьей строке ведущим будет второй элемент, т.е. $w_<32>=-9$.

Матрица $A_=left(a_
ight)$ называется ступенчатой, если она удовлетворяет двум условиям:

  1. Нулевые строки, если они есть, расположены ниже всех ненулевых строк.
  2. Номера ведущих элементов ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, т.е. если $a_<1k_1>$, $a_<2k_2>$, . $a_$ – ведущие элементы ненулевых строк матрицы $A$, то $k_1ltltldotslt$.

Примеры ступенчатых матриц:

Для сравнения: матрица $Q=left(egin 2 & -2 & 0 & 1 & 9\0 & 0 & 0 & 7 & 9\0 & -5 & 0 & 10 & 6end
ight)$ не является ступенчатой, так как нарушено второе условие в определении ступенчатой матрицы. Ведущие элементы во второй и третьей строках $q_<24>=7$ и $q_<32>=10$ имеют номера $k_2=4$ и $k_3=2$. Для ступенчатой матрицы должно быть выполнено условие $k_2lt$, которое в данном случае нарушено. Отмечу, что если поменять местами вторую и третью строки, то получим ступенчатую матрицу: $left(egin
2 & -2 & 0 & 1 & 9\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \0 & 0 & 0 & 7 & 9end
ight)$.

Ступенчатую матрицу называют трапециевидной или трапецеидальной, если для ведущих элементов $a_<1k_1>$, $a_<2k_2>$, . $a_$ выполнены условия $k_1=1$, $k_2=2$. $k_r=r$, т.е. ведущими являются диагональные элементы. В общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:

$$ A_> =left(egin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1r>& ldots & a_<1n>\ 0 & a_ <22>& ldots & a_ <2r>& ldots & a_<2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots\ 0 & 0 & ldots & a_ & ldots & a_\ 0 & 0 & ldots & 0 & ldots & 0\ ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots\ 0 & 0 & ldots & 0 & ldots & 0 end
ight) $$

Примеры трапециевидных матриц:

Дадим ещё несколько определений для квадратных матриц. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей. Например, $left( egin 2 & -2 & 9 & 1 \ 0 & 9 & 8 & 0 \ 0 & 0 & 4 & -7 \ 0 & 0 & 0 & 6 end
ight)$ – верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это несущественно. Например, $left( egin
0 & 0 & 9 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 end
ight)$ – тоже верхняя треугольная матрица.

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей. Например, $left( egin 3 & 0 & 0 & 0 \ -5 & 1 & 0 & 0 \ 8 & 2 & 1 & 0 \ 5 & 4 & 0 & 6 end
ight)$ – нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это неважно. Например, $left( egin
-5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 9 end
ight)$ и $left( egin
0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 end
ight)$ – тоже нижние треугольные матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $left( egin 3 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 6 end
ight)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), – это несущественно.

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $left(egin 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end
ight)$ – единичная матрица четвёртого порядка; $left(egin
1 & 0 \ 0 & 1 end
ight)$ – единичная матрица второго порядка.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector