Тангенс квадрат икс равен

‘);> //–>
Тангенс (tg) – это тригонометрическая функция геометрически представляющая отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике.

tg 2 (x)=tg(x)*tg(x)

Значение тангенса находится в диапазоне от -∞ до +∞.

Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления квадрата тангенса (тангенса в квадрате). С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить квадрат тангенса любого угла.

Производная тангенса равна единице деленной на квадрат косинуса того же самого аргумента:

Данную формулу легко вывести, если знать, что по тригонометрической формуле: $$ tg x = frac<sin x> <cos x>$$

А производные синуса и косинуса:

$$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (cos x)’ = -sin x $$

Тогда по правилу производной дроби находим:

Выполняем упрощение числителя с учетом тождества $ sin^2 x + cos^2 x = 1 $:

Определение

Производная тангенса равна отношению единицы и квадрата косинуса одно и того же аргумента. Так как функция сложная, то еще нужно домножить на производную аргумента тангенса:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Найти производную тангенса сложной функции: $ y = tg 2x $
Решение
Ответ
$$ y’ = frac<2> <cos 2x>$$

Тангенс представлен степенной функцией, поэтому берем производную по правилу $ (x^p)’ = px^ $, а затем умножаем на производную тангенса:

$$ y’ = (tg^2 x)’ = 2tg x cdot (tg x)’ = $$

Основные формулы тригонометрии – это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin – α + 2 π z = – sin α , cos – α + 2 π z = cos α t g – α + 2 π z = – t g α , c t g – α + 2 π z = – c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = – sin α t g π 2 + α + 2 π z = – c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = – t g α sin π 2 – α + 2 π z = cos α , cos π 2 – α + 2 π z = sin α t g π 2 – α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 – α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = – sin α , cos π + α + 2 π z = – cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π – α + 2 π z = sin α , cos π – α + 2 π z = – cos α t g π – α + 2 π z = – t g α , c t g π – α + 2 π z = – c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = – cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = – c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = – t g α sin 3 π 2 – α + 2 π z = – cos α , cos 3 π 2 – α + 2 π z = – sin α t g 3 π 2 – α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 – α + 2 π z = t g α

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β – sin α · sin β cos α – β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = – 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α – sin 2 α , cos 2 α = 1 – 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α – 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 – t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α – 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α – sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α – 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α – 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = – 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α – t g 3 α 1 – 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α – 3 c t g α 3 c t g 2 α – 1

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin 2 α 2 = 1 – cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 – cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 – cos α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α – sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 – 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 ( – 1 ) n 2 – k · C k n · cos ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )

sin n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 ( – 1 ) n – 1 2 – k · C k n · sin ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α – β 2 sin α – sin β = 2 sin α – β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α – β 2 cos α – cos β = – 2 sin α + β 2 · sin α – β 2 , cos α – cos β = 2 sin α + β 2 · sin β – α 2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход – от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α – β ) – cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α – β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α – β ) + sin ( α + β ) )

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс и котангенс, – могут быть выражены через тангенс половинного угла.

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 – t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 – t g 2 α 2 c t g α = 1 – t g 2 α 2 2 t g α 2

Пример 2
Чему равна производная от тангенса в квадрате? $ y = tg^2 x $
Решение

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector