Связь нок и нод

В этой статье всесторонне рассмотрено наименьшее общее кратное (НОК) данных чисел. Сначала дано определение общих кратных, на основании которого дано определение наименьшего общего кратного. После этого введены обозначения НОК, и приведены примеры. Дальше рассмотрена теорема, устанавливающая связь НОК и НОД данных чисел. В заключение показано, как нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел сводится к последовательному вычислению НОК двух чисел.

Навигация по странице.

Общие кратные – определение, примеры

Если знать, что такое кратные числа, то определение общих кратных воспримется очень естественно. Мы будем говорить лишь об общих кратных таких целых чисел, которые отличны от нуля.

Общие кратные данных целых чисел – это такие целые числа, кратные всех данных чисел. Другими словами, общим кратным данных целых чисел называется любое целое число, которое делится на каждое из данных чисел.

Определение общих кратных относится как к двум целым числам, так и к трем, и к большему количеству целых чисел. То есть, мы можем говорить об общих кратных двух, трех, четырех и так далее целых чисел.

Приведем примеры общих кратных.

По определению число 12 является общим кратным двух чисел 2 и 3 , так как 12 кратно и двум и трем. Число 12 также является общим кратным трех чисел 2 , 3 и 4 . Это же число 12 есть общее кратное двенадцати чисел: ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±12 . Все приведенные примеры также имеют место, если вместо 12 взять число −12 .

С другой стороны общее кратное двух чисел 2 и 3 это не только число 12 , целые числа 6 , −24 , 72 , 468 , −100 010 004 также являются общими кратными чисел 2 и 3 . Более того, существуют и другие общие кратные чисел 2 и 3 .

А вот числа 16 , −27 , 5 009 , 27 001 не являются общими кратными чисел 2 и 3 . Действительно, 16 делится на 2 , но не делится на 3 ; число −27 делится на 3 , но не делится на 2 ; а числа 5 009 и 27 001 не делятся ни на 2 , ни на 3 .

Отдельно отметим, что число нуль является общим кратным любого множества ненулевых целых чисел.

Из свойств делимости следует, что если некоторое целое число s является общим кратным данных чисел, то число −s , также является общим кратным данных чисел, так как множества делителей противоположных чисел s и −s совпадают. То есть, общие делители данных чисел могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Из выше рассмотренных примеров это отчетливо видно.

Нужно еще обговорить два нюанса, которые мы сформулируем в виде вопросов и дадим на них ответы.

Всегда ли существует общее кратное данных целых чисел»? Да, всегда. Покажем это. Пусть нам даны k целых чисел a1, a2, …, ak . Рассмотрим число, равное произведению a1·a2·…·ak . Свойства делимости позволяют утверждать, что это число делится на каждое из чисел a1, a2, …, ak , следовательно, является общим кратным данных чисел.

А сколько всего общих кратных имеют данные целые числа? Ответ на поставленный вопрос таков: данные целые числа имеют бесконечно много общих кратных. Действительно, выше мы показали, что общее кратное данных чисел всегда существует, пусть это число s . Тогда любое из чисел s·z , где z – любое целое число, является общим кратным данных чисел. А так как целых чисел бесконечно много, то и общих кратных данных чисел бесконечно много.

В заключение этого пункта скажем, что можно ограничиться рассмотрением общих кратных лишь целых положительных (то есть, натуральных) чисел. Это не ограничит общности, и связано с тем, что множество кратных данного числа и множество кратных числа, противоположного данному, совпадают (что следует из свойств делимости).

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры

Среди всех кратных данных чисел особый интерес и особую практическую значимость представляет наименьшее общее кратное (понятие наименьшего числа из данного множества чисел мы ввели, когда изучали сравнение целых чисел). Дадим определение наименьшего общего кратного.

Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

В предыдущем пункте мы сказали, что данные числа всегда имеют общее кратное, причем, если s – общее кратное этих чисел, то и −s , также является общим кратным. Следовательно, наименьшее общее кратное данных чисел всегда существует.

Читайте также:  Включить wmm dls что это

Часто при описании наименьшего общего кратного используют аббревиатуру НОК. Также для краткой записи принято обозначение наименьшего общего кратного чисел a1, a2, …, ak вида НОК(a1, a2, …, ak) . Также в математической литературе можно встретить обозначение наименьшего кратного чисел a1, a2, …, ak вида [a1, a2, …, ak] .

Приведем примеры наименьших общих кратных. Например, НОК двух целых чисел 5 и 6 равно 30 , то есть, НОК(5, 6)=30 , а наименьшее общее кратное четырех чисел 2 , −12 , 15 и −3 равно 60 , то есть, НОК(2, −12, 15, −3)=60 .

Следует отметить, что в предыдущих примерах далеко не очевидно, что указанные числа являются наименьшими общими кратными соответствующих чисел. Этим мы хотим сказать, что в общем случае не удается сразу сказать, чему равен НОК данных чисел, и приходится провести вычисление наименьшего общего кратного.

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК определяется следующей теоремой.

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b , деленному на наибольший общий делитель чисел a и b , то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) .

Пусть М – какое-нибудь кратное чисел a и b . То есть, М делится на a , и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что справедливо равенство M=a·k . Но М делится и на b , тогда a·k делится на b .

Обозначим НОД(a, b) как d . Тогда можно записать равенства a=a1·d и b=b1·d , причем a1=a:d и b1=b:d будут взаимно простыми числами. Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что a·k делится на b , можно переформулировать так: a1·d·k делится на b1·d , а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a1·k делится на b1 .

В этом случае по свойству взаимно простых чисел, так как a1·k делится на b1 , и a1 не делится на b1 ( a1 и b1 – взаимно простые числа), то на b1 должно делиться k . Тогда должно существовать некоторое целое число t , для которого k=b1·t , а так как b1=b:d , то k=b:d·t . Подставив в равенство M=a·k вместо k его выражение вида b:d·t , приходим к равенству M=a·b:d·t .

Так мы получили равенство M=a·b:d·t , которое дает вид всех общих кратных чисел a и b . Из того, что a и b числа положительные по условию следует, что при t=1 мы получим их наименьшее положительное общее кратное, которое равно a·b:d . Этим доказано, что НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) .

Доказанная связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем двух данных чисел позволяет найти НОК через НОД.

Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.

Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.

Это действительно так, так как любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t .

Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обоснование этого факта достаточно очевидно. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1 , следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b .

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел. Как это делается, указано в следующей теореме.

Пусть даны целые положительные числа a1, a2, …, ak , наименьшее общее кратное mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2) , m3=НОК(m2, a3) , …, mk=НОК(mk-1, ak) .

Доказательство базируется на первом следствии из теоремы, разобранной в предыдущем пункте. Общие кратные чисел a1 и a2 совпадают с кратными их НОК, то есть, совпадают с кратными числа m2 . Тогда общие кратные чисел a1 , a2 и a3 совпадают с общими кратными чисел m2 и a3 , следовательно, совпадают с кратными числа m3 . И так далее. Общие кратные чисел a1, a2, …, ak совпадают с общими кратными чисел mk-1 и ak , следовательно, совпадают с кратными числа mk . А так как наименьшим положительным кратным числа mk является само число mk , то наименьшим общим кратным чисел a1, a2, …, ak является mk .

Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.

Общие кратные – определение, примеры

В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.

Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.

Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.

Согласно данному выше определению для числа 12 общими кратными числами будут 3 и 2 . Также число 12 будет общим кратным для чисел 2 , 3 и 4 . Числа 12 и – 12 являются общими кратными числами для чисел ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12 .

Читайте также:  Яндекс погода не открывает карту осадков

В то же время общим кратным числом для чисел 2 и 3 будут числа 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 и целый ряд любых других.

Если мы возьмем числа, которые делятся на первое число из пары и не делятся на второе, то такие числа не будут общими кратными. Так, для чисел 2 и 3 числа 16 , − 27 , 5 009 , 27 001 не будут общими кратными.

0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.

Если вспомнить свойство делимости относительно противоположных чисел, то получается, что некоторое целое число k будет общим кратным данных чисел точно также, как и число – k . Это значит, что общие делители могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для всех ли чисел можно найти НОК?

Общее кратное можно найти для любых целых чисел.

Предположим, что нам даны k целых чисел a 1 , a 2 , … , a k . Число, которое мы получим в ходе умножения чисел a 1 · a 2 · … · a k согласно свойству делимости будет делиться на каждый из множителей, который входил в изначальное произведение. Это значит, что произведение чисел a 1 , a 2 , … , a k является наименьшим общим кратным для этих чисел.

Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?

Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.

Предположим, что у нас есть некоторое число k . Тогда произведение чисел k · z , где z – это целое число, будет являться общим кратным чисел k и z . С учетом того, что количество чисел бесконечно, то и количество общих кратных бесконечно.

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры

Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.

Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

Наименьшее общее кратное существует для любого количества данных чисел. Наиболее употребимой для обозначения понятия в справочной литературе является аббревиатура НОК. Краткая запись наименьшего общего кратного для чисел a 1 , a 2 , … , a k будет иметь вид НОК ( a 1 , a 2 , … , a k ) .

Наименьшее общее кратное чисел 6 и 7 – это 42 . Т.е. НОК ( 6 , 7 ) = 42 . Наименьшее общее кратное четырех чисел – 2 , 12 , 15 и 3 будет равно 60 . Краткая запись будет иметь вид НОК ( – 2 , 12 , 15 , 3 ) = 60 .

Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b , деленному на наибольший общий делитель чисел a и b , то есть, НОК ( a , b ) = a · b : НОД ( a , b ) .

Предположим, что мы имеем некоторое число M , которое кратно числам a и b . Если число M делится на a , также существует некоторое целое число z , при котором справедливо равенство M = a · k . Согласно определению делимости, если M делится и на b , то тогда a · k делится на b .

Если мы введем новое обозначение для НОД ( a , b ) как d , то сможем использовать равенства a = a 1 · d и b = b 1 · d . При этом оба равенства будут взаимно простыми числами.

Мы уже установили выше, что a · k делится на b . Теперь это условие можно записать следующим образом:
a 1 · d · k делится на b 1 · d , что эквивалентно условию a 1 · k делится на b 1 согласно свойствам делимости.

Согласно свойству взаимно простых чисел, если a 1 и b 1 – взаимно простые числа, a 1 не делится на b 1 при том, что a 1 · k делится на b 1 , то b 1 должно делиться k .

В этом случае уместно будет предположить, что существует число t , для которого k = b 1 · t , а так как b 1 = b : d , то k = b : d · t .

Теперь вместо k подставим в равенство M = a · k выражение вида b : d · t . Это позволяет нам прийти к равенству M = a · b : d · t . При t = 1 мы можем получить наименьшее положительное общее кратное чисел a и b , равное a · b : d , при условии, что числа a и b положительные.

Так мы доказали, что НОК ( a , b ) = a · b : НОД ( a , b ) .

Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.

Теорема имеет два важных следствия:

  • кратные наименьшего общего кратного двух чисел совпадает с общими кратными этих двух чисел;
  • наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обосновать эти два факта не составляет труда. Любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M = НОК ( a , b ) · t при некотором целом значении t . Так как a и b взаимно простые, то НОД ( a , b ) = 1 , следовательно, НОК ( a , b ) = a · b : НОД ( a , b ) = a · b : 1 = a · b .

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.

Читайте также:  Как поменять размер фото в paint

Предположим, что a 1 , a 2 , … , a k – это некоторые целые положительные числа. Для того, чтобы вычислить НОК mk этих чисел, нам необходимо последовательно вычислить m 2 = НОК ( a 1 , a 2 ) , m 3 = НОК ( m 2 , a 3 ) , … , m k = НОК ( m k – 1 , a k ) .

Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму:

  • общие кратные чисел a 1 и a 2 совпадают с кратными их НОК, фактически, они совпадают с кратными числа m 2 ;
  • общие кратные чисел a 1 , a 2 и a 3 совпадают с общими кратными чисел m 2 и a 3 , следовательно, совпадают с кратными числа m 3 ;
  • общие кратные чисел a 1 , a 2 , … , a k совпадают с общими кратными чисел m k – 1 и a k , следовательно, совпадают с кратными числа m k ;
  • в связи с тем, что наименьшим положительным кратным числа m k является само число m k , то наименьшим общим кратным чисел a 1 , a 2 , … , a k является m k .

план конспект урока

Скачать:

Вложение Размер
план конспект 21.7 КБ

Предварительный просмотр:

Тема: Решение примеров на нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.Связь между НОК и НОД

Тип урока: комбинированный.

  • отработка навыков нахождения НОД и НОК;
  • применение полученных знаний для решения задач;
  • повторение и закрепление признаков делимости, простых и составных чисел.
  • наблюдательность, внимание, речь, память, логическое мышление, самостоятельность, интерес к математике через региональный компонент, практическое применение приобретенных знаний, установление межпредметных связей.
  • воспитывать у учащихся культуру труда, взаимоуважение, стремление хорошо учиться; воспитывать стремление достигать поставленную цель; уверенности в себе, умение работать в коллективе.

1. Организационный момент Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Давайте вспомним, чем мы занимались на предыдущих уроках?

( Мы находили НОД и НОК чисел разными способами и решали задачи)

2. Постановка задачи Сегодня мы с вами обобщим все полученные знания по данной теме. Откройте тетради, запишите число, классная работа, тема: «Нахождение НОД и НОК чисел».

3. Проверка домашнего задания

4. Актуализация знаний Прежде чем приступим к решению заданий, предлагаю вспомнить некоторые правила.

Стратегия «Собери правило» Учащиеся выходят к доске и ставят соответствие нахождения алгоритма НОД и НОК

5. Обобщение и систематизация знаний и умений

Работа в парах Выполнение задания

  1. НОД (4,12)= Ответ:
  2. НОД (16,24)= Ответ:
  3. НОД (30,120)= Ответ:
  4. НОК (4,12)= Ответ:
  5. НОК (15,4)= Ответ:
  6. НОК (22,33)= Ответ:
  7. НОД (4,16,12)= Ответ:

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК определяется следующей теоремой.

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b , деленному на наибольший общий делитель чисел a и b , то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) .

Пусть М – какое-нибудь кратное чисел a и b . То есть, М делится на a , и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что справедливо равенство M=a·k . Но М делится и на b , тогда a·k делится на b .

Обозначим НОД(a, b) как d . Тогда можно записать равенства a=a 1 ·d и b=b 1 ·d , причем a 1 =a:d и b 1 =b:d будут взаимно простыми числами . Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что a·k делится на b , можно переформулировать так: a 1 ·d·k делится на b 1 ·d , а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a 1 ·k делится на b 1 .

В этом случае по свойству взаимно простых чисел , так как a 1 ·k делится на b 1 , и a 1 не делится на b 1 ( a 1 и b 1 – взаимно простые числа), то на b 1 должно делиться k . Тогда должно существовать некоторое целое число t , для которого k=b 1 ·t , а так как b 1 =b:d , то k=b:d·t . Подставив в равенство M=a·k вместо k его выражение вида b:d·t , приходим к равенству M=a·b:d·t .

Так мы получили равенство M=a·b:d·t , которое дает вид всех общих кратных чисел a и b . Из того, что a и b числа положительные по условию следует, что при t=1 мы получим их наименьшее положительное общее кратное, которое равно a·b:d . Этим доказано, что НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) .

Доказанная связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем двух данных чисел позволяет найти НОК через НОД .

Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.

  1. Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.

Это действительно так, так как любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t .

  1. Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обоснование этого факта достаточно очевидно. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1 , следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b .

7. Решение простейших задач на нахождение НОК и НОД с использованием

Сегодня на уроке мы повторили с вами разложение числа на простые множители, повторили нахождение НОК и НОД чисел.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector