Сумма обратных квадратов натуральных чисел

Была идея грубо оценить и сделать знакоч. ряд, аля: $%frac<1> (19 Ноя ’16 5:40) Williams Wol.

1 ответ

Идея именно эта, только оценивать таким способом нужно не с первого члена, а с какого-то подходящего. При этом $%1+1/2^2+. +1/n^2$% не меняем, а оставшуюся сумму (можно даже взять ряд) оцениваем сверху: $%1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+. ссылка

отвечен 19 Ноя ’16 8:28

falcao
243k ● 1 ● 34 ● 48

Да, все оказалось просто – спасибо.

@Williams Wol. здесь только не было сразу ясно, какое брать $%n$%. Если бы оно оказалось достаточно большим, то эффект бы не достигался. Но когда мы заменяем $%frac1<(n+1)^2>$% на $%frac1$%, погрешность имеет порядок $%frac1$%. Точное значение суммы ряда равно $%frac<pi^2>6$%, и от $%1.65$% оно отличается на сколько-то тысячных. Тогда $%n=10$% должно дать хорошую точность. Пробуем (уже без "нелегальной" информации), и оно подходит. К слову сказать, $%n=9$% даёт оценку, которая чуть превышает нужную.

Здравствуйте

Математика – это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

1. Базельская задача

Для гармонического ряда аналогичная итерация дает сумму 14.3927257228, отчего гармонический ряд еще называют медленно расходящимся рядом.

Эйлер вычислил несколько первых знаков, после чего, обладая сверхъестественными способностями к вычислениям, увидел, что сумма базельского ряда равна
π 2 /6
После чего он строго доказал, что так оно и есть. Сделал он это еще в 1735 году, в Петербурге. Ход его рассуждений можно проиллюстрировать следующим образом: возьмем за основу известный ряд Тейлора:

Из школьного курса мы знаем, что при x=0, ± π, ± 2π, ± 3π . синус равен нулю.
Если рассмотреть в качестве примера алгебраическое уравнение 4-й степение:

Пусть его корни равны b, c, d и e. Тогда его можно разложить на линейные множители:

Ряд Тейлора, являясь многочленом, по основной теореме алгебры, можно аналогично представить в виде произведения одночленов:

Правая часть этого равенства преобразовывается к виду:

Если каждое выражение в скобках приравнять к нулю:
x 2 – π 2 = 0
Далее:
x 2 = π 2
Далее:
x 2 / π 2 = 1
Далее:
1 – x 2 / π 2 = 0
После чего правая часть становится равной:

При этом

Делим обе части равенства на x и получаем

Поскольку

имеем:
K ‘ =1
Получаем ряд:

После перемножения и расрытия скобок в правой части:

Делим обе части на -x 2 /π 2 и получаем:

Читайте также:  Ремонт компьютерных блоков питания пошаговая инструкция

что и требовалось доказать. Для 4-й степени:

Для 6-й степени:

ζ(8) = π 8 / 9450
ζ(10) = 691*π 10 / 638512875
ζ(12) = 2*π 12 / 18243225
ζ(14) = 3617*π 14 / 325641566250
.

Для положительных целых четных значений, кратных двум, Эйлер нашел упрощенную формулу с использованием чисел Бернулли:

или так

В 1755 году Эйлер опубликовал Наставления к дифференциальному исчислению, в которых подвел итог доказательству Базельской задачи.
На данный момент существует много ее различных доказательств, например, есть варианты, в которых используется только интегральное исчисление.

Ряд, состоящий из величин, обратных простым числам, расходится, причем еще медленнее, чем гармонический, примерно к ln(ln(p)) :

Сумма же гармонического ряда оценивается как ln(n+1) 2. Так появилась знаменитая дзета-функция Эйлера:

Он смог вычислить ее для любого четного значения S. Для нечетных функций простых формул до сих пор не найдено.
Таблица для первых 5 целых значений дзета-функции, с точностью до 12 знаков после запятой:
2 = 1.644934066848
3 = 1.202056903159
4 = 1.082323233711
5 = 1.036927755143
6 = 1.017343061984

Дзета-функция определена не только для целых, но и рациональных чисел. Например, для s=1.1 она равна 10.58448, для s=1.0001 она равна 10000.577222.
В положительной области определения дзета-функция выглядит так:

Вообще, глядя на уравнение дзета-функции, можно сделать вывод, что она существует только для S > 1. Попробуйте подставить S 1.
На самом деле дзета-функция существует для любого значения, кроме 1, причем не только целого. В области слева от 1 дзета-функция выглядит так:

В начале отрицательной области определения дзета-функция выглядит так:

Для вычисления дзета-функции в области 1
Формула:

Между дзета-функцией и эта-функцией существует связь:

Например, чтобы вычислить дзета-функцию для 0.5, сначала с помощью ряда вычисляем эта-функцию для 0.5. Зная значения эта-функции, можно с помощью последней формулы вычислить аналогичные значения для дзета-функции. Так, например η(1/2)=0.604. . Отсюда ζ(1/2)= -1.460.
Еще более странным выглядит алгоритм для вычисления дзета-функции для отрицательных значений. Эйлер в 1749 году предложил выразить ζ(1-x) через ζ(x). Т.е. например чтобы вычислить дзета-функцию ζ(-15), надо вычислить ζ(16) и подставить его в формулу, которая выглядит так:

Эта формула работает для целых S. Дзета-функция равна нулю всегда, когда S – отрицательное четное число. Эти нули еще называют тривиальными нулями дзета-функции.

Дзета-функция является фундаментальной функцией современной математики. Она может проявляться в самых неожиданных местах.
Так, для S=3 она равна 1.2020569. Это число называется постоянной Апери.
Постоянная Эйлера

очень важна, т.к. она используется самым неожиданным образом во множестве дисциплин: в статистике. квантовой механике, анализе и теории чисел. Существует связь между этой константой и дзета-функцией:

Читайте также:  Heroes of the storm сколько весит игра

Существует связь между дзета-функцией и функцией Мебиуса. Областью определения функции Мебиуса являются натуральные числа 1,2,3. Вычисляется функция Мебиуса по следующему алгоритму:
μ(1)=1.
μ(n)=0, если среди делителей числа n есть квадрат.
μ(n)=-1, если число n – простое или является произведением нечетного числа различных простых чисе.
μ(n)= 1 , если число n является произведением четного числа различных простых чисел:

Существует связь между дзета-функцией и числом делителей натуральных чисел:

Существует связь между дзета-функцией и числом простых делителей натуральных чисел:

Существует связь между дзета-функцией и вероятностью выбора взаимно-простых чисел. Пусть имеется отрезок из натуральных чисел [1;N]. Из него случайно выбираем k целых чисел. Вероятность того, что эти числа взаимно просты в совокупности:

В частности, два случайно выбранных числа взаимно просты с вероятностью 6/π 2

3. Тождество Эйлера

Еще более загадочная связь существует между дзета-функцией и простыми числами. Эта связь также была установлена Эйлером. Он нашел ее, применив к дзета-функции классический алгоритм просеивания – решето Эратосфена. Доказательство может быть проиллюстрировано следующим образом:
Исходно дзета-функция имеет вид:

Умножим обе части равенства на 1/2 S , получим:

Вычитая второе из первого, удаляем все элементы с делителем 2:

Умножим обе части равенства на 1/3 S , получим:

Вычитая последнее из предпоследнего, удаляем все элементы с делителем 3:

Применяя в дальнейшем метод просеивания, умножая последовательно на величину, обратную очередному простому числу – 5, 7, 11, 13 и т.д., в конце концов получим:

Разделив последнюю формулу на все множители, получим знаменитое тождество Эйлера, в левой части которого стоит сумма величин, обратных степеням всех натуральных чисел, а в правой части стоит произведение величин, обратных степеням всех простых чисел:

которое можно записать так:

или так:

Впервые тождество упоминается Эйлером в мемуаре Various observations about infinite series, изданном в Петербурге в 1737 году, и выглядело оно вот так:

4. О свойствах степенных рядов

У Эйлера есть работа (E352 по каталогу) о свойствах степенных рядов, которая по латински звучит как Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques. Ее английский перевод – Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series.
К моменту написания этой работы Эйлер уже определил свою знаменитую формулу для дзета-функции в виде обратного степенного ряда. Он также нашел явные формулу для четных натуральных степеней S. Но дзета-функция на тот момент была определена лишь для S > 1. В этой работе он расширяет область определения дзета-функцию на всю числовую область и выводит функциональное выражение, используя эта-функцию. Зная значение эта-функции, мы можем вычислить дзета-функцию в любой области значения, в том числе для S
Зная сумму одного из этих рядов, можно вычислить сумму другого ряда, точнее, если мы знаем сумму первого ряда для m, то сможем вычислить сумму второго ряда для : n = m+1.
Сумма первого ряда для m=1 равна 1/4 . В современных терминах это называется сумма Абеля, она определена для x, который по модулю меньше 1. Эта сумма получена исходя из того, что ряд

Читайте также:  Сколько весит фар край 5 на компьютер

эквивалентен

Последнее выражение при x=1 равно 1/4.
Для других степеней аналогично:

Если подставить в правой части x=1, получим, что для второй степени сумма равна нулю, третьей – минус 2/16, четвертой – опять ноль, пятой – плюс 16/64, шестой – опять ноль и т.д.
В общем случае формула для вычисления n–й степени:

Каким образом Эйлер получил эти зависимости ? В качестве исходного ряда возьмем следующий:

Сначала умножим его на x, потом продифференцируем, и получим равенство для первой степени. Потом возьмем это равенство, умножим на x, опять продифференцируем, и получим равенство для второй степени, и т.д.

Далее Эйлер приводит формулы для расчета дзета-функции для четных положительных S. В общем виде формула выглядит так:

Здесь B – число Бернулли. Следующий код вычисляет первые несколько значений дзета-функцию по этой формуле с использованием чисел Бернулли:

Матем. просв., сер. 3, 2004, выпуск 8,

Наш семинар: математические сюжеты

Сумма обратных квадратов

Аннотация: В этой заметке мы рассказываем о том, как можно разными способами найти значение суммы
$$ 1+frac14+frac19+frac1<16>+frac1<25>+dotsb. $$
Вероятно, все изложенные здесь способы являются известными. Да и попытки устроить ревизию в этом хозяйстве уже тоже предпринимались.
Толчком к написанию этого текста послужило наблюдение, изложенное в параграфе 7, пополнению коллекции доказательств сильно помогли статья [12] и дискуссии в [18].

Полный текст: PDF файл (317 kB)
Список литературы: PDF файл HTML файл
Тип публикации: Научно-популярный, образовательный материал

Образец цитирования: К. П. Кохась, “Сумма обратных квадратов”, Матем. просв., сер. 3, 8 , Изд-во МЦНМО, М., 2004,

Цитирование в формате AMSBIB

Кохась
paper Сумма обратных квадратов
serial Матем. просв., сер.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector