Скалярное произведение двух матриц

С матрицами (таблицами с числовыми элементами) могут проводиться различные вычислительные действия. Одни из них – умножение на число, вектор, другую матрицу, несколько матриц. Произведение иногда получается неверным. Ошибочный результат – итог незнания правил выполнения вычислительных действий. Давайте разберемся, как следует осуществлять умножение.

Матрица и число

Начнем с самого простого – с умножения таблицы с числами на конкретную величину. Например, мы имеем матрицу A с элементами aij (i – это номера строк, а j – это номера столбцов) и число e. Произведением матрицы на число e будет матрица B с элементами bij, которые находятся по формуле:

Т. е. для получения элемента b11 нужно взять элемент a11 и умножить его на нужное число, для получения b12 требуется найти произведение элемента a12 и числа e и т. д.

Решим задачу № 1, представленную на картинке. Для получения матрицы B просто умножим элементы из A на 3:

  1. a11 × 3 = 18. Это значение записываем в матрицу B в то место, где пересекаются столбец № 1 и строка № 1.
  2. a21 × 3 = 15. Мы получили элемент b21.
  3. a12 × 3 = –6. Мы получили элемент b12. Записываем его в матрицу B в место, где пересекаются столбец № 2 и строка № 1.
  4. a22 × 3 = 9. Данный результат – это элемент b22.
  5. a13 × 3 = 12. Данное число вносим в матрицу на место элемента b13.
  6. a23 × 3 = –3. Последнее полученное число – это элемент b23.

Таким образом, мы получили прямоугольный массив с числовыми элементами.

18 –6 12
15 9 –3

Векторы и условие существования произведения матриц

В математических дисциплинах существует такое понятие, как «вектор». Под этим термином понимается упорядоченный набор величин от a1 до an. Они называются координатами векторного пространства и записываются в виде столбца. Еще есть термин «транспонированный вектор». Его компоненты располагаются в виде строки.

Векторы можно называть матрицами:

  • вектор-столбец – это матрица, построенная из одного столбца;
  • вектор-строчка – это матрица, которая включает в себя только одну строку.

При выполнении над матрицами операций умножения важно помнить о том, что есть условие существования произведения. Вычислительное действие A × B может быть выполнено только тогда, когда число столбцов в таблице A равно числу строчек в таблице B. Итоговая матрица, получаемая в результате вычисления, всегда имеет число строк таблицы A и число столбцов таблицы B.

При умножении не рекомендуется переставлять местами матрицы (множители). Их произведение обычно не соответствует коммутативному (переместительному) закону умножения, т. е. результат операции A × B не равен результату операции B × A. Такая особенность именуется некоммутативностью произведения матриц. В некоторых случаях результат умножения A × B равен результату умножения B × A, т. е. произведение коммутативно. Матрицы, при которых равенство A × B = B × A выполняется, называются перестановочными. С примерами таких таблиц можно ознакомиться ниже.

Умножение на вектор-столбец

При выполнении умножения матрицы на вектор-столбец обязательно учитываем условие существования произведения. Число столбцов (n) в таблице должно совпадать с количеством координат, из которых составлен вектор. Результат вычисления – преобразованный вектор. Его количество координат равно числу строчек (m) из таблицы.

Как вычисляются координаты вектора y, если есть матрица A и вектор x? Для расчетов созданы формулы:

где x1, …, xn – координаты из x-вектора, m – число строк в матрице и количество координат в новом y-векторе, n – число столбцов в матрице и количество координат в x-векторе, a11, a12, …, amn – элементы матрицы A.

Таким образом, для получения i-й компоненты нового вектора выполняется скалярное произведение. Из матрицы A берется i-я вектор-строка, и она умножается на имеющийся вектор x.

Решим задачу № 2. Произведение матрицы на вектор найти можно, ведь A имеет 3 столбца, и x состоит из 3 координат. В результате мы должны получить вектор-столбец с 4 координатами. Воспользуемся вышеуказанными формулами:

  1. Вычислим y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Итоговое значение равно 2.
  2. Вычислим y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). При расчете получим 0.
  3. Вычислим y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Сумма произведений указанных множителей равна 6.
  4. Вычислим y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Координата равна –8.

Умножение вектор-строки на матрицу

Нельзя умножить матрицу, состоящую из нескольких столбцов, на вектор-строку. В таких случаях не выполняется условие существования произведения. А вот умножение вектор-строки на матрицу возможно. Эта вычислительная операция выполняется при совпадении количества координат в векторе и числа строк в таблице. Результат произведения вектора на матрицу – новая вектор-строка. Ее количество координат должно равняться числу столбцов в матрице.

Вычисление первой координаты нового вектора подразумевает умножение вектор-строки и первого вектор-столбца из таблицы. Аналогичным способом производится расчет второй координаты, но вместо первого вектор-столбца берется уже второй вектор-столбец. Вот общая формула для вычисления координат:

где yk – координата из y-вектора, (k находится в промежутке от 1 до n), m – число строк в матрице и количество координат в x-векторе, n – число столбцов в матрице и количество координат в y-векторе, a с буквенно-цифровыми индексами – элементы матрицы A.

Читайте также:  Статические и нестатические методы java

Произведение прямоугольных матриц

Это вычислительное действие может показаться сложным. Однако умножение легко выполняется. Начнем с определения. Произведение матрицы A с m строками и n столбцами и матрицы B с n строками и p столбцами – это матрица C с m строками и p столбцами, в которой элемент cij представляет собой сумму произведений элементов i-й строки из таблицы A и j-го столбца из таблицы B. Если говорить более простым языком, то элемент cij – это скалярное произведение i-й вектор-строчки из таблицы A и j-го вектор-столбца из таблицы B.

Теперь разберемся на практике в том, как находить произведение матриц прямоугольного вида. Решим для этого задачу № 3. Условие существования произведения выполняется. Приступим к расчету элементов cij:

  1. Матрица C будет состоять из 2 строк и 3 столбцов.
  2. Рассчитаем элемент c11. Для этого выполним скалярное произведение строки № 1 из матрицы A и столбца № 1 из матрицы B. c11 = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Далее поступаем аналогичным образом, меняя только строки, столбцы (в зависимости от индекса элемента).
  3. c 12 = 12.
  4. c13 = 9.
  5. c21 = 31.
  6. c22 = 18.
  7. c23 = 36.

Элементы рассчитаны. Теперь осталось только составить прямоугольный блок из полученных чисел.

16 12 9
31 18 36

Умножение трех матриц: теоретическая часть

Можно ли найти произведение трех матриц? Эта вычислительная операция выполнима. Результат можно получить несколькими способами. Например, есть 3 квадратных таблицы (одного порядка) – A, B и C. Чтобы вычислить произведение, можно:

  1. Умножить сначала A и B. Результат затем умножить на C.
  2. Найти сначала произведение B и C. Далее матрицу A умножить на полученный результат.

Если требуется перемножить матрицы прямоугольного вида, то сначала нужно удостовериться в том, что данная вычислительная операция возможна. Должны существовать произведения A × B и B × C.

Поэтапное умножение не является ошибкой. Есть такое понятие, как «ассоциативность умножения матриц». Под этим термином понимается равенство (A × B) × C = A × (B × C).

Умножение трех матриц: практика

Квадратные матрицы

Начнем с умножения небольших квадратных матриц. Ниже на рисунке представлена задача № 4, которую нам предстоит решить.

Будем пользоваться свойством ассоциативности. Перемножим сперва либо A и B, либо B и C. Помним только одно: нельзя переставлять местами множители, т. е. нельзя умножать B × A или C × B. При таком умножении мы получим ошибочный результат.

Шаг первый. Для нахождения общего произведения умножим сначала A на B. При умножении двух матриц будем руководствоваться теми правилами, которые были изложены выше. Итак, результатом умножения A и B будет матрица D с 2 строчками и 2 столбцами, т. е. прямоугольный массив будет включать в себя 4 элемента. Найдем их, выполнив расчет:

  • d11 = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
  • d12 = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
  • d21 = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
  • d22 = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Промежуточный результат готов.

30 10
15 16

Шаг второй. Теперь умножим матрицу D на матрицу C. Результатом должна быть квадратная матрица G с 2 строками и 2 столбцами. Рассчитаем элементы:

  • g11 = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
  • g12 = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
  • g21 = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
  • g22 = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Таким образом, результатом произведения квадратных матриц является таблица G с вычисленными элементами.

250 180
136 123

Прямоугольные матрицы

Ниже на рисунке представлена задача № 5. Требуется перемножить прямоугольные матрицы и найти решение.

Проверим, выполняется ли условие существования произведений A × B и B × C. Порядки указанных матриц позволяют нам выполнять умножение. Приступим к решению задачи.

Шаг первый. Умножим B на C для получения D. Матрица B содержит 3 строчки и 4 столбца, а матрица C – 4 строчки и 2 столбца. Это значит, что матрица D у нас получится с 3 строчками и 2 столбцами. Рассчитаем элементы. Вот 2 примера вычислений:

  • d11 = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
  • d12 = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Продолжаем решать задачу. В результате дальнейших вычислений мы находим значения d21, d22, d31 и d32. Эти элементы равны 0, 19, 1 и 11 соответственно. Запишем найденные значения в прямоугольный массив.

7
19
1 11

Шаг второй. Умножим A на D, чтобы получить итоговую матрицу F. В ней будет 2 строчки и 2 столбца. Рассчитаем элементы:

  • f11 = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
  • f12 = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
  • f21 = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
  • f22 = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Составим прямоугольный массив, являющийся конечным результатом умножения трех матриц.

1 139
3 52

Знакомство с прямым произведением

Достаточно сложным для понимания материалом является кронекеровское произведение матриц. У него есть еще дополнительное название – прямое произведение. Что же понимается под этим термином? Допустим, у нас есть таблица A порядка m × n и таблица B порядка p × q. Прямым произведением матрицы A на матрицу B является матрица порядка mp × nq.

У нас есть 2 квадратные матрицы A, B, которые представлены на картинке. Первая из них состоит из 2 столбцов и 2 строк, а вторая – из 3 столбцов и 3 строк. Мы видим, что матрица, полученная в результате прямого произведения, состоит из 6 строк и точно такого же количества столбцов.

Читайте также:  Что делать если провод не заряжает айфон

Как при прямом произведении вычисляют элементы новой матрицы? Найти ответ на этот вопрос очень легко, если проанализировать рисунок. Сначала заполняют первую строку. Берут первый элемент из верхней строчки таблицы A и последовательно умножают на элементы первой строки из таблицы B. Далее берут второй элемент первой строчки таблицы A и последовательно умножают на элементы первой строки таблицы B. Для заполнения второй строки снова берут первый элемент из первой строки таблицы A и умножают его на элементы второй строки таблицы B.

Итоговую матрицу, получаемую прямым произведением, называют блочной. Если вновь проанализировать рисунок, то можно заметить, что наш результат состоит из 4 блоков. Все они включают элементы матрицы B. Дополнительно элемент каждого блока умножен на конкретный элемент матрицы A. В первом блоке все элементы умножены на a11, во втором – на a12, в третьем – на a21, в четвертом – на a22.

Определитель произведения

При рассмотрении темы, касающейся умножения матриц, стоит еще рассмотреть такой термин, как «определитель произведения матриц». Что такое определитель? Это важная характеристика квадратной матрицы, определенное значение, которое ставится в соответствие этой матрице. Буквенное обозначение определителя – det.

Для матрицы A, состоящей из двух столбцов и двух строчек, определитель легко найти. Существует небольшая формула, представляющая собой разность произведений конкретных элементов:

Рассмотрим пример вычисления определителя для таблицы второго порядка. Существует матрица A, в которой a11 = 2, a12 = 3, a21 = 5 и a22 = 1. Для вычисления определителя воспользуемся формулой:

det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = –13.

У матриц 3 × 3 определитель вычисляется по более сложной формуле. Она представлена ниже для матрицы A:

Для запоминания формулы придумали правило треугольника, которое проиллюстрировано на картинке. Сначала умножаются элементы главной диагонали. К полученному значению прибавляются произведения тех элементов, на которые указывают углы треугольников с красными сторонами. Далее отнимается произведение элементов побочной диагонали и отнимаются произведения тех элементов, на которые указывают углы треугольников с синими сторонами.

Теперь поговорим об определителе произведения матриц. Существует теорема, которая гласит, что данный показатель равен произведению определителей таблиц-сомножителей. Убедимся в этом на примере. У нас есть матрица A с элементами a11 = 2, a12 = 3, a21 = 1 и a22 = 1 и матрица B с элементами b11 = 4, b12 = 5, b21 = 1 и b22 = 2. Найдем определители для матриц A и B, произведение A × B и определитель этого произведения.

Шаг первый. Вычислим определитель для A: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = –1. Далее вычислим определитель для B: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.

Шаг второй. Найдем произведение A × B. Новую матрицу обозначим буквой C. Вычислим ее элементы:

Шаг третий. Вычислим определитель для C: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = –3. Сравним со значением, которое могло бы получиться при умножении определителей исходных матриц. Числа одинаковые. Вышеуказанная теорема верна.

Ранг произведения

Ранг матрицы – это характеристика, отражающая максимальное количество линейно независимых строк или столбцов. Для вычисления ранга выполняют элементарные преобразования матрицы:

  • перестановку местами двух параллельно лежащих рядов;
  • умножение всех элементов определенного ряда из таблицы на число, не равняющееся нулю;
  • прибавление к элементам одного ряда элементов из другого ряда, умноженных на конкретное число.

После элементарных преобразований смотрят на количество ненулевых строк. Их число – это и есть ранг матрицы. Рассмотрим предыдущий пример. В нем было представлено 2 матрицы: A с элементами a11 = 2, a12 = 3, a21 = 1 и a22 = 1 и B с элементами b11 = 4, b12 = 5, b21 = 1 и b22 = 2. Также будем использовать матрицу C, полученную в результате умножения. Если мы выполним элементарные преобразования, то в упрощенных матрицах нулевых строк не будет. Это значит, что и ранг таблицы A, и ранг таблицы B, и ранг таблицы C равен 2.

Теперь особое внимание уделим рангу произведения матриц. Существует теорема, которая гласит, что ранг произведения таблиц, содержащих числовые элементы, не превышает ранга любого из сомножителей. Это можно доказать. Пусть A – это матрица размера k × s, а B – это матрица размера s × m. Произведение A и B равно C.

Изучим рисунок, представленный выше. На нем изображен первый столбец матрицы C и его упрощенная запись. Этот столбец – линейная комбинация столбцов, входящих в матрицу A. Аналогичным образом можно сказать о любом другом столбце из прямоугольного массива C. Таким образом, подпространство, образованное векторами-столбцами таблицы C, имеется в подпространстве, образованном векторами-столбцами таблицы A. По этой причине размерность подпространства № 1 не превосходит размерности подпространства № 2. Отсюда следует вывод, что ранг по столбцам таблицы C не превышает ранга по столбцам таблицы A, т. е. r(C) ≤ r(A). Если рассуждать аналогичным образом, то можно убедиться в том, что строчки матрицы C – это линейные комбинации строчек матрицы B. Из этого следует неравенство r(C) ≤ r(B).

Как находить произведение матриц – достаточно сложная тема. Ее можно легко освоить, но для достижения такого результата придется уделить немало времени заучиванию всех существующих правил и теорем.

Читайте также:  Телефон самсунг с выпуклым экраном

Рассмотрим практическую задачу. Пусть нам надо определить затраты рабочего времени на одном из рабочих мест, если нам известно следующее:

1. Нормативы на выполнение каких то стандартных работ.

сменить катридж удалить бумагу заменить клавиатуру удалить вирус поставить программу подключить к сети
Затраты 10 15 12 50 25 20

2. По месячной отчетности нам известно сколько раз было та или иная стандартная работа

Количество
сменить катридж 12
удалить бумагу 7
заменить клавиатуру 1
удалить вирус 3
поставить программу 21
подключить к сети 5

Задача решается достаточно легко, нам надо взять время затраченное например на смену катриджа, умножить его на количество таких событий, потом сделать то же самое по другой работе и в конце концов все результаты сложить между собой.

Вот то, что мы с Вами только что проделали, это и называется скалярным умножением векторов, в том случае если эти две таблицы мы представим в виде двух векторов/матриц.

Задача, как видите простая, и нет проблемы решать вручную, даже если вектора большие. Единственная загвоздка, если матрицы имеют комплексные значения. Умножать и складывать комплексные результаты, это значит подвергать Ваш ответ, человеческой невнимательности.

Если обобщить вышесказанное, то если первый вектор или матрица представлена рядом

а второй вектор рядом

То скалярное произведение равно

Созданный бот, позволит Вам правильно выполнять скалярное умножение двух матриц.

Примеры

Умножить скалярно два вектора

Очень важно оговорить что произведение скалярное, так как, два таких же вектора можно умножить обычным способом.

вторник, 14 июня 2016 г.

Скалярное произведение матриц

Книга о преобразованиях гиперкомплексных чисел после ее выхода продолжает дописываться и в ней появились интересные параграфы, один из которых представляю здесь.

Если продолжить принцип взаимного отношения на алгебры другого вида, не на гиперкомплексные числа, то потребуется использовать алгебры, в которых определена операция умножения и взятия обратного элемента к заданному.

Обе эти категории существуют в алгебре матриц. Для матриц мы имеем и операцию произведения матриц, и операцию получения обратной к заданной так, что результат принадлежит к той же алгебре.

Для получения скалярного произведения матриц $A$ и $B$ надо взять их взаимное отношение в виде egin AB^ end После чего у этой величины взять инвариантный скаляр. Таким скалярным инвариантом является след матрицы. Или egin (A,B)=mathrm

(AB^) label end

Если исходные матрицы $A$ и $B$ преобразуются egin egin A
ightarrow CA \ B
ightarrow CB end
end
то скалярное произведение этих матриц преобразуется: egin (A,B)
ightarrow (CA,CB)=mathrm

(CAB^C^) end

И в случае если определитель матрицы преобразования единичный egin |C|=1 end то след при таком преобразовании инвариантен: egin mathrm

(CAB^C^)=mathrm (AB^) end

И, таким образом, формула скалярного произведения матриц может быть использована в качестве определения скалярного произведения квадратных матриц с операцией ортогонального преобразования. Свойства коммутативности и линейности такого определения скалярного произведения вытекают из свойств транспонирования и следа квадратных матриц.

Как следствие задания скалярного произведения для матриц, возможно также применение к матрицам понятия их ортогональности, а именно, матрицы $A$ и $B$ ортогональны, если egin mathrm

(AB^)=0 end

Как следствие определения ортогональности матриц, существует также вариант теоремы Пифагора для них: egin mathrm

left((A+B)(A+B)^
ight)=mathrm
(AA^)+ mathrm (BB^) end

Если обратить внимание на то, что в формуле скалярного произведения матриц рассматривается произведение матриц $AB^T$, то, формально говоря, это могут быть и матрицы с разным числом строк и столбцов $n imes m$, где $n
eq m$, вплоть до крайних случаев где $n=1$ или $m=1$, что соответствует фактически аналогам векторов. Для таких вырожденных в вектора матриц получаем классическое определение скалярного произведения векторов в виде суммы покомпонентных их произведений.

Любопытно, что и преобразование матриц $C$ может быть произвольной допустимой для умножения, а не только квадратной матрицей, но в этом случае конечно не применимо утверждение о единичности ее определителя.

По смыслу определения скалярного произведения матриц мы можем его применять лишь к матрицам с одинаковым числом строк и столбцов. В результате произведения матрицы на матрицу той же структуры, но транспонированную, получается квадратная матрица, что требуется для взятия следа.

Формально говоря, выбор скалярного произведения в форме $$ (A,B)=mathrm

(AB^T) $$ не приводит к правилу получения квадрата нормы объекта при взятии скалярного произведения этого объекта с самим собой. Для того чтобы это выполнялось нужно определить скалярное произведение матриц как $$ (A,B)=mathrm (AB^<-1>|B|^2) $$ Здесь именно величина $B^<-1>|B|^2$ задает построение отношения в полной мере.

Но такое определение скалярного произведения для матриц не является коммутативным по аргументам $$ (A,B)
eq (B,A) $$ и не может быть отнесено к не квадратным матрицам и следовательно к векторам как частному случаю матрицы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector