Система векторов линейно зависима если

Линейная зависимость векторов

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A1, A2. An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ1, λ2. λn, при котором линейная комбинация векторов λ1*A12*A2+. +λn*An равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+. +Anxn имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ1, λ2. λn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ1, λ2. λn отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A1, A2. An называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов λ1*A12*A2+. +λn*An равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ1, λ2. λn, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+. +Anxn имеет единственное нулевое решение.

Проверить, является ли линейно зависимой система векторов

Решение:

1. Составляем систему уравнений:

2. Решаем ее методом Гаусса. Преобразования Жордано системы приведены в таблице 29.1. При расчете правые части системы не записываются так как они равны нулю и при преобразованиях Жордана не изменяются.

3. Из последних трех строк таблицы записываем разрешенную систему, равносильную исходной системе:

4. Получаем общее решение системы:

5. Задав по своему усмотрению значение свободной переменной x3 =1, получаем частное ненулевое решение X=(-3,2,1).

Ответ: Таким образом, при ненулевом наборе чисел (-3,2,1) линейная комбинация векторов равняется нулевому вектору -3A1+2A2+1A3=Θ. Следовательно, система векторов линейно зависимая.

Свойства систем векторов

Свойство (1)
Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.

Свойство (2)
Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

Свойство (3)
Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Свойство (4)
Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

Свойство (5)
Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)

Базис системы векторов

Базисом системы векторов A1 , A2 . An называется такая подсистема B1, B2 . Br (каждый из векторов B1,B2. Br является одним из векторов A1 , A2 . An), которая удовлетворяет следующим условиям:
1. B1,B2. Br линейно независимая система векторов;
2. любой вектор Aj системы A1 , A2 . An линейно выражается через векторы B1,B2. Br

r — число векторов входящих в базис.

Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.

Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E1 E2 . Em , то они образуют базис системы.

Читайте также:  Виды маркеров в ворде

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A1 ,A2 . An необходимо:

  • Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A1x1+A2x2+. +Anxn
  • Привести эту систему

Определение. Линейной комбинацией векторов a 1, . an с коэффициентами x 1, . xn называется вектор

Свойства линейно зависимых векторов:

Примеры задач на линейную зависимость и линейную независимость векторов:

Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

x 1 + x 2 = 0
x 1 + 2 x 2 – x 3 = 0
x 1 + x 3 = 0

Решим эту систему используя метод Гаусса

1 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 1 0

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

1 1 0 0 1 – 1 2 – 1 -1 – 0 0 – 0 1 – 1 0 – 1 1 – 0 0 – 0

1 1 0 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

1 – 0 1 – 1 0 – (-1) 0 – 0 0 1 -1 0 0 + 0 -1 + 1 1 + (-1) 0 + 0

1 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0

Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x 1, x 2, x 3 таких, что линейная комбинация векторов a , b , c равна нулевому вектору, например:

а это значит вектора a , b , c линейно зависимы.

Ответ: вектора a , b , c линейно зависимы.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

x 1 + x 2 = 0
x 1 + 2 x 2 – x 3 = 0
x 1 + 2 x 3 = 0

Решим эту систему используя метод Гаусса

1 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 2 0

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

1 1 0 0 1 – 1 2 – 1 -1 – 0 0 – 0 1 – 1 0 – 1 2 – 0 0 – 0

1 1 0 0 0 1 -1 0 0 -1 2 0

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

1 – 0 1 – 1 0 – (-1) 0 – 0 0 1 -1 0 0 + 0 -1 + 1 2 + (-1) 0 + 0

1 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 1 0

из первой строки вычтем третью; к второй строке добавим третью:

1 – 0 0 – 0 1 – 1 0 – 0 0 + 0 1 + 0 -1 + 1 0 + 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Данное решение показывает, что система имеет единственное решение x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, а это значит вектора a , b , c линейно независимые.

Читайте также:  Как восстановить windows 7 на ноутбуке samsung

Ответ: вектора a , b , c линейно независимые.

Линейная зависимость и независимость векторов

Определения линейно зависимой и независимой систем векторов

Пусть имеем систему из n-векторов и имеем набор чисел , тогда

(11)

называется линейной комбинацией данной системы векторов с данным набором коэффициентов.

Определение 23 (через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов , из которых хотя бы один не равен нулю, что линейная комбинация данной системы векторов с этим набором коэффициентов равна нулевому вектору:

. (12)

Пусть , тогда

Определение 24 (через представление одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы.

Определения 23 и 24 эквивалентны.

Определение 25 (через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов называется линейно независимой, если нулевая линейная комбинация этой системы возможна лишь при всех равных нулю.

Определение 26 (через невозможность представления одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называется линейно независимой, если не один из векторов этой системы нельзя представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

Свойства линейно зависимой и независимой систем векторов

Теорема 2 (нулевой вектор в системе векторов)

Если в системе векторов имеется нулевой вектор, то система линейно зависима.

 Пусть , тогда .

Получим , следовательно, по определению линейно зависимой системы векторов через нулевую линейную комбинацию (12) система линейно зависима. 

Теорема 3 (зависимая подсистема в системе векторов)

Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то и вся система линейно зависима.

 Пусть – линейно зависимая подсистема , среди которых хотя бы одно не равно нулю:

Пусть

Значит, по определению 23, система линейно зависима. 

Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

 От противного. Пусть система линейно независима и в ней имеется линейно зависимая подсистема. Но тогда по теореме 3 вся система будет также линейно зависимой. Противоречие. Следовательно, подсистема линейно независимой системы не может быть линейно зависимой. 

Геометрический смысл линейной зависимости и независимости системы векторов

Два вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда .

и – линейно зависимы , что выполняется условие . Тогда , т.е. .

Читайте также:  Зарегистрироваться в стим аккаунт

линейно зависимы. 

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору

Для того чтобы два вектора были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы был не коллинеарен .

Для того чтобы система из трёх векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарными.

– линейно зависимы, следовательно, один вектор можно представить в виде линейной комбинации двух других.

, (13)

где и . По правилу параллелограмма есть диагональ параллелограмма со сторонами , но параллелограмм – плоская фигура компланарны – тоже компланарны.

– компланарны. Приложим три вектора к точке О:

C

B`

– линейно зависимы 

Нулевой вектор компланарен любой паре векторов.

Для того чтобы векторы были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были не компланарны.

Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации любых двух неколлинеарных векторов этой же плоскости.

Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

 Рассмотрим 4 случая:

Если среди векторов есть нулевой вектор. Тогда система линейно зависима по теореме 2.

Если среди векторов имеется хотя бы 1 пара коллинеарных векторов. Тогда система линейно зависима по теоремам 5 и 3.

Если среди векторов имеется компланарная тройка векторов. Тогда система линейно зависима по теоремам 6 и 3.

Если среди векторов нет нулевых векторов, коллинеарных пар и компланарных троек. Приложим эти 4 вектора к точке О.

. Проведем плоскость через векторы , затем плоскость через векторы и плоскость через векторы . Затем проведем плоскости, проходящие через точку D, параллельные парам векторов ; ; соответственно. По линиям пересечения плоскостей строим параллелепипед OB1D1C1ABDC.

Рассмотрим OB1D1C1 – параллелограмм по построениюпо правилу параллелограмма .

Рассмотрим OADD1– параллелограмм (из свойства параллелепипеда) , тогда

EMBED Equation.3 .

По теореме 1 такие, что . Тогда , и по определению 24 система векторов линейно зависимая. 

Суммой трёх некомпланарных векторов в пространстве является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах, приложенных к общему началу, причём начало вектора суммы совпадает с общим началом этих трёх векторов.

Если в пространстве взять 3 некомпланарных вектора, то любой вектор этого пространства можно разложить в линейную комбинацию данных трёх векторов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector