Признак абеля сходимости несобственного интеграла

  • функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную при ;
  • функция непрерывно дифференцируема и убывает на полуинтервале ;

Покажем, что функция удовлетворяет условию Коши на промежутке . Проинтегрируем эту функцию по частям:

где a" title="xi’,xi”>a" />.
По первому условию теоремы можно утверждать, что:

Обратим внимание на то, что при выполняется , и при выполняется . Рассмотрим эти два случая:

Для из неравенства (*) и предыдущего условия следует, что

Получили, что функция удовлетворяет условию Коши, и по критерию Коши сходимости интегралов сходится.

Рассмотрим признак Абеля сходимости несобственных интегралов. Этот признак является следствием из признака Дирихле.

Если на полуоси :

  • функция непрерывна и интеграл сходится;
  • функция непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна,

то интеграл сходится.

Заметим, что интегралы и имеют одинаковый характер сходимости. Также, в силу монотонности функции , одна из функций или убывает.
Предположим, что убывает функция . Поскольку эта функция ограничена и монотонна, то существует конечный предел . Так как функция убывает, то при стремящемся к разность тоже стремится к нулю.
Перепишем произведение функций и в следующем виде:

В силу сходимости интеграла , интеграл сходится. Из этого же условия следует, что интеграл ограничен. Действительно, из существования конечного предела следует ограниченность функции в окрестности b
ight>" title="U(+infty)=left
ight>" /> бесконечно удалённой точки . Из непрерывности функции на сегменте следует её ограниченность. Получили, что ограничена на полуинтервале . Поскольку первообразная функции это , то имеет ограниченную первообразную на .
Для интеграла выполнены все условия признака Дирихле, следовательно этот интеграл сходится. В силу сходимости , интеграл сходится, что и требовалось доказать.

Рассмотрим интеграл . Исследуем его на сходимость.

Представим наш интеграл в виде суммы двух интегралов и исследуем последний на сходимость. Запишем подынтегральное выражение в следующем виде:

и применим подстановку . Тогда

Функция , а значит интеграл сходится по признаку Дирихле.

Теперь рассмотрим интеграл . Проверим его на сходимость.

Пусть , . Интеграл сходится по признаку Дирихле, т.к. интегралы , а монотонно стремится к . Функция 0" title="g(x)
ightarrowfrac<pi><2>(x
ightarrow+infty),g'(x)>0" />. По признаку Абеля интеграл сходится.

Признак Дирихле — Признак Дирихле теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле. Содержание … Википедия

Признак Дини — Признак Дини признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из сходится к ней в смысле нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее, при некоторых… … Википедия

Читайте также:  Intel atom x3 c3230rk

Признак сравнения — Признак сравнения утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство … Википедия

Признак Лобачевского — признак сходимости числового ряда, предложенный Лобачевским между 1834 и 1836. Пусть есть убывающая последовательность положительных чисел, тогда ряд сходится или расходится одновременно с рядом … Википедия

Признак Жордана — признак сходимости рядов Фурье: если периодическая функция имеет ограниченную вариацию на отрезке , то её ряд Фурье сходится в каждой точке к числу ; если при этом функция непрерывна на отрезке … Википедия

Признак Раабе — (признак Раабе Дюамеля) признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный Йозефом Людвигом Раабе (Joseph Ludwig Raabe) и независимо Жан Мари Дюамелем. Содержание 1 Формулировка 2 Формул … Википедия

Признак Бертрана — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Жозефом Бертраном. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия

Признак Гаусса — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1812 году Карлом Гауссом, при исследовании сходимости гипергеометрического ряда. Формулировка Пусть дан ряд и ограниченная числовая последовательность . Тогда если… … Википедия

Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей чувствительностью . Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория… … Википедия

Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Пьером Жамэ. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия

III. Несобственные интегралы.

Определение несобственного интеграла с бесконечным пределом:

Пусть f(x) определена на [a;+ ∞) и интегрируема в любой конечной подобласти этого промежутка. Предел этого интеграла (конечным или ∞) при b->∞ называется интегралом функции f(x) от [a;∞) и обозначается (1). В случае если, предел (1.1) конечен, говорят, что интеграл (1) сходится, а f(x) тогда интегрируема на бесконечном промежутке [a;+∞). Если же lim(1)=∞ или не существует, то интеграл расходится. Интеграл (1) – несобственный интеграл I рода

Свойства: Их сходимости, 1)Сходится для всех b>a и наоборот. 2) 3) сходимость , С=const 4)Если сходится еще , то сходится

Признаки сходимости: Если f(x) положительна для любых x, то (4) представляет собой монотонно возрастающую функцию от А.

Т1. Для сходимости несобственного интеграла(1) в случае f(x)≥0 ó чтобы интеграл 4 оставался ограниченным сверху. Если это условие не выполняется, то интеграл имеет значение равное +∞.

Читайте также:  Бесплатные программы доступ к ресурсам компьютера

Т2. Если при x≥A≥a имеет место неравенство f(x)≤g(x), то из сходимости (5) следует сходимость (6) и наоборот для расходимости

Т3. Если , то из сходимости интеграла 5 вытекает сходимость 6 при k 0

Признак Коши: Пусть для больших x f(x) представимо в виде , Тогда,

3) Если λ>1 и ψ(x)≤C≤+∞, то тогда интеграл 1 сходится

4) Если λ≤1 и ψ(x)≥C>0, то интеграл 1 расходится.

Т.е. для того, чтобы воспользоваться признаком Коши нужно определить, является ли f(x) при x-> 0 бесконечно малой порядка λ>0 по сравнению с 1/x;

Абсолютная сходимость: Если сходятся и (8), то интеграл 1 – абсолютно сходящийся., а f(x) – абсолютно интегрируема на [a;+∞)

Если сходится 1, а 8 – расходится, то 1 – условно сходящийся.

Критерий Коши: Для сходимости интеграла 1 ó чтобы для любых ε>0 существовало А>a, что для любых А>А и А’>A выполнялось: Следствие: Если сходится интеграл с функцией по модулю, то сходится и интеграл с функцией без модуля.

Признак Абеля: Пусть f(x) и g(x) определены на [a;+∞). Причем:

1)f(x) интегрируема на этом промежутке так, что <интеграл вида 1>сходится хотя бы неабсолютно. 2)g(x) монотонна и ограничена на всем промежутке. |g(x)|≤L. Тогда интеграл сходится.

Доказательство: Пусть даны A`>A>a ->через теорему о среднем: на два интеграла до кси. Из условия 1 и вместо ε возьмем ε/2L, оценим и получим ≤ε;

1)f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a;A] и интеграл от а до А ≤K; 2) g(x) монотонно ->0 при x->∞ и предел g(x)=0 при x->0., Тогда интеграл сходится.

Доказательство: аналогично Абелю с учетом бесконечной малости g(x)

Определение несобственного интеграла от бесконечной функции(II Рода):

Пусть f(x) задана на [a;b], но она не ограничена в этом промежутке. Пусть f(x) ограничена и интегрируема в любом конечном промежутке [a;b-η] где 0 0: интеграл 1 оставался ограниченным сверху.

Пусть для x достаточно близких к b-η f(x) может быть представлена в виде: f(x)=g(x)/(b-x) λ λ>0, тогда 1) λ b, f(x) – бесконечно большая по сравнению 1/b-x порядка λ. 1 сходится (расходится) при λ 2

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 266
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 602
  • БГУ 153
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 962
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 119
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1967
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 300
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 409
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 497
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 130
  • ИжГТУ 143
  • КемГППК 171
  • КемГУ 507
  • КГМТУ 269
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2909
  • КрасГАУ 370
  • КрасГМУ 630
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 139
  • КубГУ 107
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 367
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 330
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 636
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 454
  • НИУ МЭИ 641
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 212
  • НУК им. Макарова 542
  • НВ 777
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1992
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 301
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 119
  • РАНХиГС 186
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 243
  • РГГМУ 118
  • РГПУ им. Герцена 124
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 122
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 130
  • СПбГАСУ 318
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 147
  • СПбГПУ 1598
  • СПбГТИ (ТУ) 292
  • СПбГТУРП 235
  • СПбГУ 582
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 193
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 380
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1655
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1513
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2423
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 324
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 306
Читайте также:  Sony xperia аква m4

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector