Последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин

В теории вероятностей и статистике, о наборе случайных величин говорят, что они являются независимыми (и) одинаково распределёнными, если каждая из них имеет такое же распределение, что и другие, и все величины являются независимыми в совокупности. Фраза «независимые одинаково распределённые» часто сокращается аббревиатурой i.i.d. (от англ. independent and identically-distributed ), иногда — «н.о.р».

Применения [ править | править код ]

Предположение о том, что случайные величины являются независимыми и одинаково распределёнными широко используется в теории вероятностей и статистике, так как позволяет сильно упростить теоретические выкладки и доказывать интересные результаты.

Одна из ключевых теорем теории вероятностей — центральная предельная теорема — утверждает, что если x 1 , x 2 , … , x n <displaystyle x_<1>,x_<2>,ldots ,x_> — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией, то, при стремлении n <displaystyle n> к бесконечности, распределение их среднего — случайной величины x ¯ = ( x 1 + … + x n ) / n <displaystyle <ar >=(x_<1>+ldots +x_)/n> сходится к нормальному распределению.

Сходимость последовательности случайных величин по вероятности

Предельные теоремы теории вероятностей

Определение. Последовательность x1, x2, …., xnсходится к числу а по вероятности, если для любого e > 0 выполняется

Эту сходимость обозначают так:

Пусть существуют Еxn = an. Рассмотрим следующую разность

Нас интересует поведение при

Определение. Будем говорить, что последовательность случайных величин x1, x2, …., xnподчиняется закону больших чисел (ЗБЧ), если

Замечание. Пусть x1, x2, …., xn — случайные величины, имеющие одинаковое распределение. Тогда an = а. Пусть x1, x2, …., xn интерпретируются как измерения некоторой физической величины а. Так как точные измерения невозможны, то x1, x2, …, xn — последовательность случайных величин, тогда ЗБЧ означает, что среднее арифметическое первых п измерений хорошо аппроксимирует а:

Теорема 1 (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины x , имеющей математическое ожидание (Еx 0 имеет место неравенство

Доказательство. Рассмотрим следующую случайную величину h

Читайте также:  То номер компьютера в сети равен

Тогда

поскольку

С другой стороны

Eh = 1×P( êx-Ex ê³ e ) + 0 × P( êx-Ex ê 2 , i = 1, 2, . = S n i=1 xi . Тогда для любого e > 0 имеет место

В частности,

Доказательство. Поскольку

то, воспользовавшись неравенством Чебышева мы получим требуемое.

Пример. Технический контролер проверяет партию однотипных приборов. С вероятностью 0,01 прибор может иметь дефект A и, независимо от этого, с вероятностью 0,02 – дефект В. В каких границах будет заключено практически наверняка число бракованных изделий в партии из 1000 штук, если за вероятность практической достоверности принимается 0,997?

Обозначим через mп—число бракованных изделий в партии из п = 1000 штук, Еmп = пр, где р—вероятность иметь дефекта для одного прибора:

0,01 × 0,98 + 0,02 × 0,99 + 0, 01 × 0,02 @ 0,03.

Еmп = 1000 × 0,03 = 30, Dmп = npq = 30 × 0,97 = 29,1.

Из неравенства Чебышева, получим

и по условию задачи, правая часть этого неравенства превосходит 0,997, т.е.

Отсюда найдем e: минимальное e » 98. Тогда из | mп 30 |

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8544 – | 7399 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Выясним сначала, когда выполнен ЗБЧ для последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин.

ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа случайных слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы сильно каждая случайная величина не отклонялась от своего среднего значения, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.

Читайте также:  Смартфоны самсунг плюсы и минусы

В дальнейшем мы увидим, что требование конечности второго момента (или дисперсии) связано исключительно со способом доказательства, и что утверждение останется верным, если требовать существования только первого момента.

Обозначим через сумму первых случайных величин. Из линейности математического ожидания получим:

так как . Заметим, что дисперсия суммы превратилась в сумму дисперсий в силу попарной независимости слагаемых, из-за которой все ковариации в свойстве 14 обратились в нуль при . Сумма же дисперсий слагаемых равняется из-за их одинаковой распределённости.

а) если , т.е. если при ;

б) если независимы и (т.е. если )

в) если независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию (ЗБЧ Чебышёва).

Сильная зависимость слагаемых приводит обычно к невыполнению ЗБЧ. Если, например, и , то , и свойство (23) не выполнено ( убедиться!). В этом случае ; для одинаково распределённых слагаемых дисперсия суммы быстрее расти не может.

Следующее утверждение мы докажем чуть позже. Сравните его условия с условиями ЗБЧ Чебышёва.

Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел Я. Бернулли. В отличие от ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведение среднего арифметического случайных величин с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли имеет дело лишь со схемой Бернулли.

и , . Осталось воспользоваться ЗБЧ в форме Чебышёва и неравенством (25).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector