Порядок выполнения логических действий

Порядок выполнения работы

1. Рассмотреть основные понятия алгебры логики.

2. Изучить последовательность действий построения таблиц истинности.

3. Научиться находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности.

Теоретическая часть

Логика высказываний – это наука о законах и формах мышления, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других.

Высказывание – это сообщение, выраженное повествовательным предложением, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Логическое выражение – простое или сложное высказывание, представленное в виде символов.

Значение истинного высказывания – истина (1).

Значение ложного высказывания – ложь (0).

Высказываниям ставятся в соответствие логические переменные (заглавные буквы латинского алфавита). Например, А – «Клавиатура – устройство для ввода информации в системный блок» (А=1) и В – «ВЗУ располагается внутри системного блока» (В=0).

Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.

Логические операции и таблицы истинности

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция – это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложное выражение ложно.
Таблица истинности для конъюнкции:

A B F

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения ложны.
Таблица истинности для дизъюнкции:

A B F

3) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия – это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Таблица истинности для инверсии:

A не А

4) Логическое следование или импликация:

Импликация – это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Таблица истинности для импликации:

A B F

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность – это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Таблица истинности для эквивалентности:

A B F

Обозначение логических операций.

Логические операции Связка (союз) Обозначение
Конъюнкция логическое умножение И л, &, •
Дизъюнкция логическое сложение Или V, +
Инверсия логическое отрицание Не ¯, ﹁
Импликация логическое следование Если …, то … →, ⇒
Эквивалентность Тогда … только тогда, когда … ↔,

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

Задание 1. Найти значения логического выражения:

1. (1 V 1) V (1 V 0) 7. (1 V 0) & (1 V 0) & (1 → 0)
2. ((0 & 1) & 1) л 0 V 1 8. ﹁(1 & 1 V 0) ↔ (﹁1 V 1)
3. ((1 V 0) & (1 & 1)) & (0 V 1) 9. ((1 V 0) л (1 & 1)) л (0 л 1)
4. (0 V 1) → (1 & 1) 10. ((0 V 1) & 1) л 0 V 1
5. (1 & 1 V 0) ↔ (﹁1 & 1) 11. (1 V ﹁1) & (1 л 0)
6. ﹁((1 → 0) ↔ (1 & 1) V 1) 12. ((1 → 0) ↔ (1 л 1) V 1)
Читайте также:  Geforce gt 1030 в играх

Задание 2. Поставить знак конъюнкции или дизъюнкции вместо знака «?» (если это возможно), чтобы логическое выражение при любых значениях а и в всегда принимала значение «истина»:

1. (а V в)? (﹁в V в) 7. (﹁а V а)? (﹁в V ﹁в)
2. (а V а) ? (﹁в V а) 8. (а л а) ? (﹁в л ﹁в)
3. (а л а) ? (﹁в V в) 9. (﹁а л ﹁а)? (﹁в л ﹁в)
4. (﹁а л ﹁а)? (﹁в V в) 10. (в V в) ? (а л а)
5. (а л а) ? (﹁в V ﹁в) 11. (﹁а V ﹁а)? (﹁в V ﹁в)
6. (﹁в л﹁в)? (а V в) 12. (в л ﹁а) ? (а V ﹁в)

Задание 3.Для исходной логической функции построить таблицу истинности:

1. (А V В) & (А V С) & (В → С) 7. (С V ﹁А) V (﹁В V А)
2. ((А & С) & ﹁В) V (В & А) 8. (﹁А & В V С) ↔ ﹁(В V А)
3. ((С V ﹁В) & (А & С)) & (А V В) 9. ((В V В) л (С & С)) л (А л С)
4. ((В V А) & А) л (С V ﹁С) 10. (В & В) → ((А & А) л (С&﹁С))
5. (С & ﹁А) V (﹁В & А) 11. (А & В V А) ↔ ( С & ﹁С)
6. ((В л С) & (﹁А л А)) & (С V ﹁В) 12. ((﹁А → В) ↔ (С л С) V В)

Пример выполнения

Задание 1.Найти значения логического выражения:

(﹁0 V ﹁1) л (1 л 0) = (1 V 0) л 0= 1 л 0 = 0.

Задание 2. Поставить знак конъюнкции или дизъюнкции вместо «?», если это возможно, чтобы логическое выражение при любых значениях а и в всегда принимала значение «истина».

Задание 3.Для исходной логической функции построить таблицу истинности.

1) Необходимо внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных А, В, С.

2) Определить последовательность выполнения логических операций (приоритет).

3) Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

А В С А & В А → С (А & В) → (А → С) ((А & В) → (А → С))VА

1. Для чего предназначены таблицы истинности?

2. Что такое высказывание?

3. Установите приоритет следующим логическим операциям: дизъюнкция, инверсия, конъюнкция.

4. Приведите пример ложного высказывания.

5. Приведите пример истинного высказывания.

| следующая лекция ==>
Система общероссийских классификаторов технико-экономической и социальной информации | Астраханского отделения РГО (1986-2016 г.г.).

Дата добавления: 2017-02-11 ; просмотров: 3180 | Нарушение авторских прав

1. Инверсия;
2. Конъюнкция;
3. Дизъюнкция;
4. Импликация;
5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

1. Закон двойного отрицания:
не (не А) = A.
Двойное отрицание исключает отрицание.

2. Переместительный (коммутативный) закон:
– для логического сложения:
А B = B A;

– для логического умножения:
A & B = B & A.
Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

Читайте также:  Потеряли телефон как найти по номеру телефона

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:
– для логического сложения:
(A B) C = A (B C);
– для логического умножения:
(A & B) & C = A & (B & C).
При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:
– для логического сложения:
(A B) & C = (A & C) (B & C);

– для логического умножения:
(A & B) C = (A C) & (B C).
Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):
– для логического сложения:
;
– для логического умножения:
.

6. Закон идемпотентности ( от латинских слов idem – тот же самый и potens -сильный; дословно – равносильный):
– для логического сложения:
A A = A;
– для логического умножения:
A & A = A.
Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Законы исключения констант:
– для логического сложения:
A 1 = 1, A 0 = A;
– для логического умножения:
A & 1 = A, A & 0 = 0.

8. Закон противоречия:
A & (не A)= 0.
Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

9. Закон исключения третьего:
A (не A) = 1.
Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе – ложно, третьего не дано.

10. Закон поглощения:
– для логического сложения:
A (A & B) = A;
– для логического умножения:
A & (A B) = A.

11. Закон исключения (склеивания):
– для логического сложения:
(A & B) ( & B) = B;
– для логического умножения:
(A B) & ( B) = B.

12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):
(A B) = (B A).

Пример.Построить таблицу истинности функции

А В C В C А & (В C)

Пример. Упростить логическое выражение:

Упражнения для самостоятельного выполнения

1. Преобразовать следующие логические выражения:

2. Составить таблицы истинности для следующих логических функций:

Индивидуальные задания по теме «Булевы функции»

В индивидуальном задании требуется выполнить преобразование приведенных

ниже функций и построить таблицу истинности f(x,y,z) на наборах переменных

Конъюнкция или логическое умножение (в теории множеств – это пересечение)

Конъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными. Такая ситуация возможно лишь в единственном случае, во всех остальных случаях конъюнкция ложна.

Обозначение: &, $wedge$, $cdot$.

Таблица истинности для конъюнкции

  1. Если хотя бы одно из подвыражений конъюнкции ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция будет ложной для этого набора значений.
  2. Если все выражения конъюнкции истинны на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция тоже будет истинна.
  3. Значение всей конъюнкции сложного выражения не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется (как в математике умножение).

Дизъюнкция или логическое сложение (в теории множеств это объединение)

Дизъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно практически всегда, за исключением, когда все выражения ложны.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Таблица истинности для дизъюнкции

  1. Если хотя бы одно из подвыражений дизъюнкции истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция принимает истинное значение для данного набора подвыражений.
  2. Если все выражения из некоторого списка дизъюнкции ложны на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция этих выражений тоже ложна.
  3. Значение всей дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений (как в математике – сложение).

Отрицание, логическое отрицание или инверсия (в теории множеств это отрицание)

Отрицание – означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО и в итоге получаем, что если исходное выражение истинно, то отрицание исходного – будет ложно и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинно.

Читайте также:  Альтернативная стоимость товара измеряется

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Обозначения: не $A$, $ar$, $¬A$.

Таблица истинности для инверсии

«Двойное отрицание» $¬¬A$ является следствием суждения $A$, то есть имеет место тавтология в формальной логике и равно самому значению в булевой логике.

Импликация или логическое следование

Импликация – это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием ($A$), а второе ($A$) является следствием условия ($A$).

Обозначения: $ o$, $Rightarrow$.

Таблица истинности для импликации

  1. $A o B = ¬A vee B$.
  2. Импликация $A o B$ ложна, если $A=1$ и $B=0$.
  3. Если $A=0$, то импликация $A o B$ истинна при любом значении $B$, (из лжи может следовать истинна).

Эквивалентность или логическая равнозначность

Эквивалентность – это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных $A$ и $B$.

Обозначения: $leftrightarrow$, $Leftrightarrow$, $equiv$.

Таблица истинности для эквивалентности

Строгая дизъюнкция или сложение по модулю 2 ( в теории множеств это объединение двух множеств без их пересечения)

Строгая дизъюнкция истинна, если значения аргументов не равны.

Для функции трёх и более переменных результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов равных $1$, составляющих текущий набор — нечетное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

Обозначения: $A oplus B$ (в языках программирования), $A≠B$, $A wedge B$ (в языках программирования).

Таблица истинности для операции сложения по модулю два

Свойства строгой дизъюнкции:

Стрелка Пирса

Бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Названа в честь Чарльза Пирса и введена в алгебру логики в $1880—1881$ гг.

Обозначения: $downarrow$ , ИЛИ-НЕ

Таблица истинности для стрелки Пирса

Стрелка Пирса, как и конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, образует базис для булевых функций двух переменных. При помощи стрелки Пирса, можно построить все остальные логические операции, например:

$X downarrow X = ¬X$— отрицание

$(X downarrow Y) downarrow (X downarrow Y) equiv X vee Y$ — дизъюнкция

$(X downarrow X) downarrow (Y downarrow Y) equiv X wedge Y$ — конъюнкция

$((X downarrow X) downarrow Y) downarrow ((X downarrow X) downarrow Y) = X o Y$ — импликация

В электронике стрелка Пирса представлена в виде элемента, который носит название «операция 2ИЛИ-НЕ» (2-in NОR).

Штрих Шеффера

Булева функция двух переменных или бинарная логическая операция. Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 г.

Обозначения: $|$, эквивалентно операции И-НЕ.

Таблицей истинности для функции штрих Шеффера

Штрих Шеффера образует базис для всех булевых функций двух переменных. Применяя штрих Шеффера можно построить остальные операции, например,

Для электроники это означает, что реализация схем возможна с использованием одного типового элемента (правда это дорогостоящий элемент).

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

  1. Инверсия(отрицание);
  2. Конъюнкция (логическое умножение);
  3. Дизъюнкция и строгая дизъюнкция (логическое сложение);
  4. Импликация (следствие);
  5. Эквивалентность (тождество).

Для того чтобы изменить указанный порядок выполнения логических операций, необходимо использовать скобки.

Общие свойства

Для набора из $n$ логических переменных существует ровно $2^n$ различных значений. Таблица истинности для логического выражения от $n$ переменных содержит $n+1$ столбец и $2^n$ строк.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector