Порядок точности численного метода

Алгебраический порядок точности численного метода (порядок точности численного метода, степень точности численного метода, порядок точности, степень точности) — наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи.

Другое определение: говорят, что численный метод имеет порядок точности d <displaystyle d> , если его остаток R n <displaystyle R_> равен нулю для любого полинома степени d <displaystyle d> , но не равен нулю для полинома степени d + 1 <displaystyle d+1> .

Очевидно, что метод левых (или правых) прямоугольников имеет порядок точности 0, метод Рунге — Кутты (решения дифференциальных уравнений) четвёртого порядка — 4. Широко известный метод Гаусса по пяти точкам имеет порядок точности 9. Менее очевидно, но легко показывается, что порядок точности метода трапеций — 1, а метода Симпсона— 3.

Наивысшая возможная алгебраическая степень точности для методов численного интегрирования достигается для метода Гаусса.

Для метода Рунге — Кутты решения ОДУ порядок точности имеет другое значение — максимальное число первых членов ряда Тейлора полученного решения, совпадающих с действительным решением ОДУ

Другие определения [ править | править код ]

Зачастую порядком точности называют порядок зависимости точности от величины шага и обозначают как O ( h ) <displaystyle O(h)> . [1] К примеру, метод Эйлера имеет первый порядок точности, так как для него зависимость ошибки от величины шага линейна, т.е. при уменьшении шага в n <displaystyle n> раз ошибка также уменьшится в n <displaystyle n> раз.

Алгебраический порядок точности численного метода (порядок точности численного метода, степень точности численного метода, порядок точности, степень точности) — наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи.

Другое определение: говорят, что численный метод имеет порядок точности , если его остаток равен нулю для любого полинома степени , но не равен нулю для полинома степени .

Читайте также:  Смарт часы самсунг watch обзор

Очевидно, что метод левых (или правых) прямоугольников имеет порядок точности 0, метод Рунге — Кутты (решения дифференциалных уравнений) четвёртого порядка — 4. Широко известный метод Гаусса по пяти точкам имеет порядок точности 9. Менее очевидно, но легко показывается, что порядок точности метода трапеций — 2, а метода Симпсона — 4.

Наивысшая возможная алгебраическая степень точности для методов численного интегрирования достигается для метода Гаусса.

Для метода Рунге — Кутты решения ОДУ порядок точности имеет другое значение — максимальное число первых членов ряда Тейлора полученного решения, совпадающих с действительным решением ОДУ

Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как случайную, так и приборную погрешности. Случайная погрешность уменьшается с увеличением количества отдельных измерений, а приборная погрешность не меняется, оставаясь в пределах ±q. При выполнении многократного измерения желательно получить столько отдельных измерений, сколько необходимо для выполнения соотношения

Поскольку случайную погрешность обычно оценивают с доверительной вероятностью 0,68 , а 0 – оценка максимальной погрешности прибора, то можно считать, что выражение (1) задает доверительный интервал также с вероятность не меньшей 0,68. При выполнении однократного измерения оценкой погрешности результата служит ??x = 0/3, учитывающая только предельно допустимую приборную погрешность.

Встречаются ситуации, когда случайную и приборную погрешности удается сравнить без вычислений (??x)случ. Это возможно, если результаты отдельных измерений не выходят за пределы допустимой приборной погрешности:

где xmin, xmax – наибольшее и наименьшее значения измеряемой величины. Повышение точности многократного измерения в таком случае невозможно, а погрешностью окончательного результата будет 0/3 .

дифференцирование алгебраический полином интерполяционный

Итак, применяя для численного дифференцирования на отрезке [а; Ь] интерполяционный полином, естественно строить на этом отрезке систему равноотстоящих узлов а = х [n+1]

Читайте также:  22198 Пейджер что это означает

тогда выражение Пn+1(x)принимает вид

Учитывая, что при постоянном шаге имеет место xi= x +ih, i = 0, 1, …n, последовательно находим:

Заметим, что в (5) равно n строк (i-я строка отсутствует), причем значения первых i строк положительны, а остальных — отрицательны. Используя (5), получаем

С учетом представлений (4) и (6) формула Лагранжа (2) для равноотстоящих узлов принимает вид

Пример 1. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной своими значениями на равноотстоящих узлах (n = 2, h = 1):

Другое определение: говорят, что численный метод имеет порядок точности d, если его остаток Rn равен нулю для любого полинома степени d, но не равен нулю для полинома степени d+1

Очевидно, что метод левых (или правых) прямоугольников (ССЫЛКА ТУТ) имеет порядок точности 0, метод трапеций — 1 (ССЫЛКА ТУТ) , метод Рунге — Кутты (ССЫЛКА ТУТ) (решения дифференциалных уравнений) четвёртого порядка — 4. Широко известный метод Гаусса (ССЫЛКА ТУТ) по пяти точкам имеет порядок точности 9. Менее очевидно, но легко показывается, что порядок точности метода трапеций — 2, а метода Симпсона — 4 (ССЫЛКА ТУТ).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector