Как найти угол между двумя точками

Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ phi = arccos(cos phi) $$

Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ cos phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ phi $. А чему равен $ cos phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.

Формула

Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ overline = (a_x; a_y) $ и $ overline = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:

Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ overline = (a_x; a_y; a_z) $ и $ overline = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:

Примеры решений

Сначала находим косинус угла между векторами по формуле:

Теперь искомый угол $ phi $ находим по другой формуле:

$$ phi = arccos (cos phi) = arccos (cos frac<sqrt<2>><2>) = 45^0 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Найти угол между векторами $ overline = (2;4) $ и $ overline = (3;1) $
Решение
Ответ
Угол между двумя векторами равен $ phi = 45^0 $

Подставляем координаты в формулу и вычисляем:

Далее находим сам угол $ phi $ с помощью арккосинуса:

Нужно найти угол между точками X, Y.

К примеру, есть точки:

Координаты точки, куда нужно ей приехать:

Нужно как-то рассчитать угол между машиной и точкой.

Должно быть что-то такое:

2 ответа 2

Вступление

Итак, начать стоит с того, что Вы поставили некорректное условие, так как угол –

геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла).

часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от неё. Любая точка на прямой разделяет прямую на два луча.

В свою же очередь одна единственная прямая проходит через 2 точки => для построения угла требуется части 2-х пересекающихся прямых (с одной общей точкой) => 2 * 2 – 1 = 3 точки

Таким образом мы получаем очевидный для всех факт: не может быть между двумя точками какого-либо угла

Немного теории

Отойдем ненадолго от разъяснений геометрии за N класс средней школы и все таки попытаемся догадаться, что же Вам нужно

Как я понимаю, Вы моделируете движение машины в плоскости xOy . Так как машина движется, она имеет некоторый вектор, характеризующий ее перемещение.

Предположу, что машина выехала из точки (0; 0) => если ее текущие координаты равны (x; y), то вектор перемещения равен < x – 0; y – 0; >=

Однако так как Вам требуется найти угол для поворота машины, Вам бы следовало использовать вектор ее скорости, но Вы нас обделили информацией о нем, так что предположу, что он сонаправлен с вектором перемещения

Итак. На данном шаге у нас есть вектор и точка, итого: 3 точки. Для расчета угла более чем достаточно

Далее находим направляющий вектор из начала координат в необходимую точку и находим наименьший угол между двумя имеющимися векторами ( a и b ) по формуле:

Пример

Попробуем на примере:

Пусть машина располагается в точке (1; 2.5), а пункт назначения – в точке (3; 3):

Вот мы и получили заветный угол, который примерно равен 23 градусам

На сием курс геометрии окончен, переходим к программной реализации

Реализация

Набросаем такую функцию:

Судя по значениям в Вашем примере, которые явно больше единицы, Вы используете не радианную, а градусную меру, а посему значение, которое вернет Вам функция, необходимо будет преобразовать по формуле:

Пусть машина располагается в точке (-3; -3), а пункт назначения – в точке (3; 3):

180 градусов, что, очевидно, является чистейшей правдой!

Итоги

Старайтесь не забывать, что программирование состоит не только из набора текста, но и из применения знаний некой предметной области, с которой Вы соприкасаетесь в рамках проекта.

Чего-то не знаете? Читайте и узнавайте по теме как можно больше!

И да, подчеркну, что представленный выше метод будет работать только если Ваша машинка прямолинейно удаляется от начала координат (т.е. векторы перемещения и скорости сонаправлены), однако стоит машине развернуться и поехать в сторону точки (0; 0), как все сломается!
Чтобы решить проблему, Вам необходимо знать, в какую сторону движется автомобиль. Я не знаю деталей Вашей реализации, так что могу предложить кэшировать предыдущую точку, в которой был автомобиль, после чего уже передвигать его на новую. Тем самым Вы спокойно в любой момент времени найдете вектор скорости машины и примените его в расписанном выше алгоритме

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Нахождение угла наклона прямой – это один из важнейших навыков в геометрии, необходимый для построения графика линейной функции или для определения координат точек пересечения прямой с осями X и Y. Угол наклона прямой определяет скорость ее роста или убывания, [1] то есть как быстро прямая перемещается по вертикали в зависимости от движения по горизонтали. Угол наклона прямой легко вычисляется по координатам двух точек, лежащих на этой прямой.

Пример 2
Найти угол $ phi $ между двумя векторами $ overline = (8;-11;7) $ и $ overline = (-2;-7;8) $
Решение

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector