Фундаментальная система решений это

Фундаментальная система решений (ФСР) системы линейных однородных уравнений (алгебраических или дифференциальных) — максимальный (то есть содержащий наибольшее возможное число элементов) набор линейно независимых решений этой системы.

Это определение можно сформулировать следующим эквивалентным образом: множество всех решений системы линейных однородных уравнений образует векторное пространство, и базис этого пространства называется ФСР данной системы. Зная ФСР некоторой системы линейных однородных уравнений, из нее можно сконструировать общее решение системы в виде линейной комбинации решений, входящих в ФСР.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Нулевое (тривиальное) решение.

Для начала стоит вспомнить, что такое однородные системы линейных алгебраических уравнений. В теме "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи" вопрос классификации систем осуществлялся подробно, здесь же лишь вкратце напомню основные термины. Итак, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной, если все свободные члены этой системы равны нулю. Например, система $left < egin& 2x_1-3x_2-x_3-x_4=0;\ & -4x_1+5x_2+3x_4=0. end
ight.$ является однородной, так как все свободные члены этой системы (т.е. числа, стоящие в правых частях равенств) – нули.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение – нулевое (его ещё называют тривиальное), в котором все переменные равны нулю. Подставим, например, $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$ и $x_4=0$ в записанную выше систему. Получим два верных равенства:

Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно (и тогда СЛАУ называют определённой), либо этих решений бесконечно много (такую СЛАУ именуют неопределённой). Возникает первый вопрос: как выяснить, сколько решений имеет заданная нам однородная СЛАУ? Одно (нулевое) или бесконечность?

Та однородная СЛАУ, которая рассмотрена выше, имеет не только нулевое решение. Подставим, например, $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$ и $x_4=3$:

Читайте также:  Шрифт двоится на мониторе

Мы получили два верных равенства, поэтому $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$ – тоже является решением данной СЛАУ. Отсюда, кстати, следует вывод: так как наша СЛАУ имеет более чем одно решение, то эта СЛАУ является неопределенной, т.е. она имеет бесконечное количество решений.

Кстати сказать, чтобы не писать каждый раз выражения вроде "$x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$", пишут все значения переменных в матрицу-столбец: $left(egin 1 \ -1 \ 2 \ 3 end
ight)$. Эту матрицу тоже называют решением СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли гласит, что любая СЛАУ имеет решение (совместна) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы ($A$) равен рангу расширенной матрицы системы ($w >

Теперь можно вернуться к вопросу о количестве решений однородной СЛАУ. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, если $r=n$ ($n$ – количество переменных), то СЛАУ имеет единственное решение. Если же $r

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r of your page –>

Рассмотрим систему однородных линейных алгебраических уравнений.

(1)

Выпишем матрицу A

Минор матрицы называется базисным , если он неравен 0, и окаймляющие его миноры либо все равны 0, либо совсем отсутствуют.

Теорема о базисном миноре.

Столбцы матрицы, пересекающие главный минор линейно независимы; Всякий столбец через них линейно выражается.

Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (1), называется фундаментальной системой решений (ФСР).

Если ранг r , матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (1), меньше m, то всякая ФСР системы (1) состоит из n-r решений.

Дана однородная система линейных алгебраических уравнений

.

Найти ФСР и общее решение системы.

Читайте также:  Что делать если блютуз не видит колонку

1.Составим матрицу системы.

2. Легко показать, что ранг матрицы A=2, значит ФСР состоит из трех решений (5-2=3).

3. В матрице A возьмем базисный минор (минор второго порядка):

.

4. Отбрасываем последние уравнения системы , а неизвестные ,

считаем «свободными» и переносим их в правую часть уравнений.

. (2)

5. Ищем первое базисное решение X , для этого положим , тогда получим систему:

(3)

Определителем матрицы системы является базисный минор, он отличен от 0, значит система (3) имеет единственное решение: .

= .

6. Полагая в системе (2), находимто есть, вторым базисным решением является столбец:

.

7. Полагая: , получаем –

.

8. Итак, ФСР получена; построенная таким образом ФСР называется нормальной.

9. Столбцы образующие ФСР линейно независимы, так как свободные неизвестные были выброшены так, что выделенный минор третьего порядка отличен от 0;

10.Теперь выпишем общее решение исходной однородной системы линейных алгебраических уравнений.

,

.

Неоднородная система линейных алгебраических уравнений

(1)

Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений (1) имеет вид:

(2)

где – какое-либо решение системы (1).

общее решение соответствующей однородной системы, для которой – ФСР.

Дана неоднородная система линейных алгебраических уравнений:

Доказать, что это система совместна и найти ее общее решение.

Легко показать, что rang Ᾱ = rang A

Рассмотрим соответствующую однородную систему уравнений, эта система из примера №1. Её ФСР и общее решение найдены. Выделим в матрицу Ᾱ базисный минор, стоящий на пересечении первых двух строк со вторым и третьим столбцами. Тогда последовательность уравнений системы есть следствие двух первых уравнений системы, а неизвестные можно считать «свободными», поэтому исходная система эквивалентна системе:

Решив её, находим единственное решение:

Найдено частное решение данной неоднородной системы.

.

Общее решение исходной неоднородной системы получим с помощью формулы (2).

Читайте также:  Можно ли привязать страницу вк к почте

= или

Это решение можно было бы получить методом исключения неизвестных. ФСР определяется неоднозначно, но число элементов в ФСР всегда равно .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector