Формулы приближенного вычисления корней

Приближенное вычисление квадратных корней

Тема приближенного вычисления корней актуальна всегда, так как задания с квадратными корнями есть в каждом курсе предметов естественнонаучного цикла. В ходе решения многих математических задач, а так же задач по геометрии, по физике, по химии и т.д. приходится сталкиваться с квадратными корнями. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, но ее бывает недостаточно. Извлечение корня разложением на множители тоже непростая задача, которая не всегда приводит к желаемому результату, и я решила изучить различные способы извлечения квадратных корней с целью их практического применения.

Поэтому цель работы направлена на сопоставление различных способов приближенного извлечения квадратных корней, при этом ставятся задачи: изучение материала, выявление наиболее эффективного способа в зависимости от поставленной задачи.

Решим графически уравнение . Для этого в одной системе координат построим параболу и прямую . Абсциссы точек A и B являются корнями уравнения. Решим уравнение . Ясно, что это уравнение имеет два корня и , причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку (). По чертежу мы не можем указать точные значения корней. Интересующее нас число x1 расположено между числами 1 и 2, но между числами 1 и 2 находится бесконечное множество рациональных чисел, например и т.д. В работе доказано, что располагая только рациональными числами, уравнение мы решить не сможем.

Математики ввели в рассмотрение новый символ , который назвали квадратным корнем, и с помощью этого символа корни уравнения записали так: и . Читается: "арифметический квадратный корень из двух". Теперь для любого уравнения вида, где , можно найти корни – ими являются числа и .

Квадратным корнем из неотрицательного числа называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен . Это число обозначают . Если , то уравнение не имеет корней.

Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня.

В ходе исследования методов вычисления квадратного корня были найдены несколько методов, такие как: арифметический способ; метод грубой оценки; столбиком; Вавилонский способ; метод Герона и метод Ньютона; геометрический метод. В данной работе рассмотрены лишь некоторые из них.

квадратный корень извлечение приближенное

Для квадратов натуральных чисел верны следующие равенства:

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 и так далее.

То есть, чтобы узнать целую часть квадратного корня числа, можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, посчитать количество выполненных действий.

Например, найдем квадратный корень числа 16 так:

Выполнено 4 действия, значит, квадратный корень числа 16 равен 4. Аналогично найдем квадратный корень числа 12:

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Извлечение квадратного корня «вручную»

На примере возьмём число 223729. Для извлечения корня мы должны проделать следующие операции:

А) разбить число справа на лево на разряды по две цифры в разряде, ставя штрихи наверху- 223729→ 22’37’29’. Если бы это было число с нечётным числом цифр, как например, 4765983, то при разбиении к первой цифре слева надо приписать нуль, т.е. 4765983→04’76’59’83’.

Б) Навесить на число радикал и написать знак равенства:

22’37’29’→=… .

После этого начинаем, собственно, вычислять корень. Это делается шагами, причём на каждом шаге обрабатывается один разряд исходного числа, т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна цифра результата.

Шаг 1 ― извлечение квадратного корня с недостатком из первого разряда:

= 4… (с недостатком)

Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:

= 4…

Шаг 2 ― первую полученную цифру возводим в квадрат, приписываем под первым разрядом и ставим знак минус вот так:

= 4…

16

И производим вычисление так, как это уже написано.

Шаг 3 ― приписываем справа к результату вычитания две цифры следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную черту вот так:

= 4…

16

637

После этого, воспринимая цифры, стоящие после знака =, как обычное число, умножаем его на 2 и приписываем слева от вертикальной черты пропуск, в котором ставим точку и под этой точкой тоже ставим точку:

Читайте также:  Замена в ворде 2007

= 4…

Поставленная точка обозначает поиск цифры. Эта цифра будет второй в итоговом числе, т.е. встанет после цифры 4. Ищется она по следующему правилу:

Это наибольшая цифра k такая, что число 8 k , т.е. число, получающееся из 8 приписыванием цифры k , умноженное на k , не превосходит 637.

В данном случае это цифра 7, т.к. 87∙7=609 637. Итак, мы имеем:

= 47..

Шаг 4 ― проведём горизонтальную черту и под ней запишем результат вычитания:

637 – 609 = 28. К числу 28 приписываем последний разряд исходного подкоренного числа и получим число 2829. Слева от него проводим вертикальную черту, умножаем теперь уже 47 на 2 и полученное число 94 приписываем слева от вертикальной черты, оставив место в виде точки для поиска последней цифры. Цифра 3 подходит в точности без остатка, так как 943∙3=2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е. = 473.

= 473

В принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы поставить после найденных цифр числа запятую, списать в качестве следующего разряда два десятичных знака числа, или два нуля, если таковые отсутствуют, и продолжать все более и более точно извлекать квадратный корень. Вот например:

= 4,123…

Приближенные методы извлечения квадратного корня

(без использования калькулятора).

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 ?х), и пользовались формулой . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026. Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а1 — первое приближение числа (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а2 числа найдется по формуле .

Третье, еще более точное приближение и т.д.

(n+1)-е приближение найдется по формуле .

Нахождение приближенного значения числа методом Ньютона дает следующие результаты: а1=5; а2= 5,3; а3=5,2915.

– итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, аn – n-е приближение .

Указанный мною способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.

В данной исследовательской работе кратко изложена история возникновения чисел, называемых квадратными корнями, приближенное вычисление иррациональных чисел (квадратных корней) с помощью древневавилонской формулы и оценка погрешности, полученных вычислений.

, В основной части даётся объяснение, на чём основываются древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня, дают ли эти формулы приближённое значение квадратного корня с недостатком или с избытком (или иногда с недостатком, а иногда с избытком) а также оценивается погрешность приближённого вычисления квадратного корня.

Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. Таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители – трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня, позволяют извлечь квадратный корень в любом случае.

Скачать:

Вложение Размер
issledovanie_drevnevavilonskih_formul.rar 2.12 МБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Сапоговская средняя общеобразовательная школа»

Исследование древневавилонских формул приближённого извлечения квадратных корней из иррациональных чисел

ученик 9 класса.

аал Сапогов, 2018

1. История возникновения древневавилонской формулы приближённого вычисления квадратного корня. 3

2. Древневавилонская формула приближённого вычисления квадратного корня. . 4

3. Экспериментальная проверка формул приближённого вычисления квадратного корня……………………………………………………………………………………………. 5

4. Сравнительный анализ вычислений………………………………………………. 6

5. Методические рекомендации по применению древневавилонских формул приближённого вычисления квадратных корней……………………………………………..7

Список литературы . ..8

В данной исследовательской работе кратко изложена история возникновения чисел, называемых квадратными корнями, приближенное вычисление иррациональных чисел (квадратных корней) с помощью древневавилонской формулы и оценка погрешности, полученных вычислений.

Читайте также:  Сколько людей вконтакте на данный момент

Работа состоит из трёх частей. Во введении сказано об актуальности темы, В основной части даётся объяснение, на чём основываются древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня, дают ли эти формулы приближённое значение квадратного корня с недостатком или с избытком (или иногда с недостатком, а иногда с избытком) а также оценивается погрешность приближённого вычисления квадратного корня. В заключении представлены выводы по теме.

В работе имеются ссылки на источники – это сайты и книги, самостоятельно проведённые вычисления. Те математические понятия, которые встречаются в тексте, и могут быть непонятными разъяснены сразу по мере их появления.

Итак, одной из наиболее трудоемких арифметических операций является извлечение корня квадратного, кубического или другой степени из данного числа. Относительно просто корень можно найти в том случае, когда заранее известно, что он представляет собой целое число, т. е. извлекается нацело. В некоторых случаях при извлечении корня приходится искать лишь приближенное его значение с наперед заданной точностью. Напомним, что приближенным значением величины а с точностью до числа σ>0 называется любое (вообще говоря, не единственное) число х, удовлетворяющее оценкам а – δ≤x≤a + δ.

Данная тема актуальна, так как задания с квадратными корнями есть в каждом классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений, содержащих квадратные корни. Уравнения решали и двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. Таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители – трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня, позволяют извлечь квадратный корень в любом случае.

Объект исследования: древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня.

Предмет исследования: иррациональные числа.

Гипотеза: более точный результат извлечения квадратного корня из иррационального числа будет зависеть от самого числа, и числа представляющего его наибольший или наименьший полный квадратный корень.

Цель: исследование древневавилонских формул приближенного извлечения квадратного корня, с последующей оценкой погрешности вычислений.

В ходе реализации цели были поставлены следующие задачи:

  1. Познакомиться с историей возникновения древневавилонских формул приближённого вычисления квадратного корня
  2. Изучить, на чём основываются древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня.
  3. Выяснить, дают ли эти формулы приближённое значение квадратного корня с недостатком или с избытком (или иногда с недостатком, а иногда с избытком)?
  4. Оценить абсолютную погрешность древневавилонских формул приближённого вычисления квадратного корня.
  5. Определить, в каких случаях какая из формул даёт более точный результат.

Методы исследования: анализ литературы по теме, сравнительный анализ, синтез, моделирование, самостоятельное решение задач, исследование их решений.

Ожидаемые результаты: в ходе работы, расширить свои знания в области математики, создать продукт, который позволит другим учащимся самостоятельно разобраться в данном вопросе, научиться простым, наглядным способом находить приближенное значение квадратного корня с помощью древневавилонских формул.

  1. История возникновения древневавилонской формулы приближённого вычисления квадратного корня.

Вавилонское царство возникло в начале II тысячелетия до н. э. на территории современного Ирака, придя на смену Шумеру и Аккаду и унаследовав их развитую культуру. Просуществовало до персидского завоевания в 539 году до н. э.

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение квадратных уравнений, геометрические задачи.

В вавилонских текстах, как и в египетских, излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что развитая общая математическая теория у вавилонян несомненно была.

Читайте также:  Как выбрать радиоприемник для дома

Вавилонские математики широко пользовались шестидесятеричной позиционной(!) системой счёта. На её основе и были составлены различные вычислительные таблицы. Кроме таблиц умножения и таблиц обратных величин, с помощью которых производилось деление, существовали таблицы квадратных корней и кубических чисел. Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что вавилонские математики умели решать квадратные уравнения, которые вначале служили, в основном, сугубо практическим целям — измерению площадей и объёмов, что отразилось на терминологии. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось «длиной», а другое — «шириной». Произведение неизвестных называли «площадью». Как и сейчас!

Вавилонские математики решали также планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные Пифагором впоследствии в виде теоремы о равенстве в прямоугольном треугольнике квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Другими словами, знаменитая теорема Пифагора была известна вавилонянам не менее чем за тысячу лет до Пифагора. Помимо планиметрических задач, решали и стереометрические, связанные с определением объёма различного рода пространств, тел, широко практиковали черчение планов полей, местностей, отдельных зданий, но обычно не в масштабе. Наиболее значительным достижением математики было открытие того факта, что отношение диагонали и стороны квадрата не может быть выражено целым числом или простой дробью. Тем самым в математику было введено понятие иррациональности.

Вавилонские математики прекрасно знали о важнейших иррациональных числах, и решение задачи по вычислению площади круга также можно найти в расшифровках клинописных глиняных табличек математического содержания. Согласно этим данным π принималось равным 3, что, впрочем, было вполне достаточно для практических землемерных целей.

Особое значение имело в древности точное измерение полей, садов, строений — ежегодные разливы рек приносили большое количество ила, который покрывал поля и уничтожал межи между ними, и после спада воды землемерам по заказу их владельцев частенько приходилось вновь перемеривать наделы. В клинописных архивах сохранилось немало таких землемерных карт, составленных свыше 4 тыс. лет тому назад.

В задачах на квадратные уравнения корни всегда являются рациональными. Однако в геометрических приложениях вавиловяне встречались и с проблемой извлечения квадратных корней из неквадратных чисел. Тексты ничего не сообщают о том приблизились ли математики к идее иррационального числа. Они лишь содержат неоднократно встречающееся правило и у других народов

  1. Древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня.

То есть ещё в Древнем Вавилоне более 4 тысяч лет назад был известен метод приближённого вычисления квадратного корня из натуральных чисел. Для натурального x находили наибольший полный квадрат (т. е. квадрат натурального числа), не превосходящий x . Другими словами, число x записывали в виде x = y 2 + z , где y и z — натуральные числа, причём y — наибольшее из всех возможных [1] . После этого применяли приближённую формулу:

Существует и другая формула приближённого вычисления квадратного корня. Запишем число x в виде x = y 2 − z , где y и z — натуральные числа, причём y — наименьшее из всех возможных. После этого применяли формулу:

  1. Экспериментальная проверка формул приближённого вычисления квадратного корня

Вычислим с помощью формулы (1), например,

Рассмотрим другую (2) формулу приближённого вычисления квадратного корня и вычислим:

Выясним, в каких случаях какая из формул даёт более точный результат. Для этого возведем в квадрат полученный результат .

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,09 единицы,

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,44 единицы.

, погрешность составляет 0,12 единицы.

т.е. абсолютная погрешность составляет 0,67 единиц.

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,19 единиц.

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,32 единицы.

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,06 единиц.

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,59 единиц.

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,09 единиц.

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,56 единиц.

  1. Сравнительный анализ вычислений

Приближённое значение квадратного корня с недостатком

Приближённое значение квадратного корня с избытком

Приближённое значение квадратного корня иногда с недостатком, а иногда с избытком

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector