Формулы для вычисления координат точки

Рассмотрим произвольную прямоугольную систему координат Оху, с началом координат в точке О. Пусть дана произвольная тоска А(х;у) с неотрицательной ординатой у. Отобразим всё вышесказанное на рисунке.

Попробуем выразить координаты точки А через длину отрезка ОА и угол а между лучом ОА и положительным направлением оси Ох. На рисунке добавим единичную полуокружность, и отметим на ней точку пересечения с лучом ОА. Так как мы рассматриваем только положительные значения ординаты, то угол а будет всегда принадлежать промежутку от 0 градусов до 180 градусов.

Нам уже известно, что для любого угла а принадлежащего промежутку от 0 до 180 градусов синусом угла а называется ордината у точки М, а косинусом угла а называется абсцисса х точки М.

По определению вектора, координаты вектора ОМ будут равны координатам точки М, то есть вектор ОМ = . По определению вектора, вектор ОА будет иметь такие же координаты, как и сама точка А, то есть вектор ОА = <х;у>. С другой стороны, вектор ОА будет равен произведению длинны отрезка ОА на вектор ОМ.

Вектор ОА = ОА*(вектор ОМ). Следовательно, координаты точки можно выразить с помощью следующих формул:

Задача:

Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительным направлением оси Ох равен а. Найдите координаты точки А, если а) ОА = 3, а = 45˚ б) ОА = 1.5, а = 90˚ в)ОА = 2, а = 30˚

Воспользуемся формулами для вычисления координат точки, которые мы получили выше:

Где х и у будут искомыми координатами точки А.

Теперь будем производить вычисления:

а) ОА = 3, а = 45˚, sin(a) = √2/2, cos(a) = √2/2;

x = 3*√2/2 = (3*√2)/2, y = 3*√2/2 = (3*√2)/2.

б) ОА = 1.5, а = 90˚, sin 90˚= 1, cos 90˚= 0;

x = 1.5*0 = 0, y = 1.5*1 = 1.5;

в) ОА = 2, а = 30˚, sin 30˚=1/2, cos 30˚= √3/2;

x = 2*√3/2 = √3, y = 2*1/2=1;

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Основное тригонометрическое тождество: формулы приведения
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspТеорема о площади треугольника: доказательство и решение задач

Все неприличные комментарии будут удаляться.

образовательная: вывести формулы для вычисления координат точки; ознакомиться с формулами приведения; закрепить полученные знания при решении задач;

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

I. Организационный момент (2мин).

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Повторение ранее изученного материала (5мин).

Для повторения ранее изученного материала рекомендуется провести математический диктант 10мин (см. Приложение). А так же можно провести фронтальное повторение теоретического материала, для этого рекомендуется следующие вопросы (использовать настенную таблицу «Тригонометрические функции»).

Учитель: Объясните, как найти синус и косинус угла из промежутка 0°180°?

Ученик: Для любого угла из промежутка 0°180°, синусом угла называется ордината точки, а косинусом угла называется абсцисса точки.

Учитель: Что называется тангенсом угла ? Для какого значения тангенс не определен? Почему?

Ученик 1: Тангенсом угла ( 90) называется отношение , то есть .

Ученик 2: При = 90° tg не определен, поскольку cos 90° = 0 и в формуле знаменатель обращается в нуль.

Учитель: Записать, на доске, основное тригонометрическое тождество?

Ученик: Равенство sin 2 a + cos 2 a= 1- основное тригонометрическое тождество.

Данное равенство выполняется для любого из промежутка 0°180°.

III. Изучение нового материала (12мин).

1. Делаем вместе с классом задачу № 1, обсуждая решение с учащимися, (см. Приложение).

2. Решить задачу:

Используя единичную полуокружность, постройте угол:

а) косинус, которого равен 0; -1;

б) синус, которого равен ; 1.

Для решения этой задачи полезно заготовить на доске несколько полуокружностей. Для решения этой задачи необходимо вызывать учащихся, по очереди к доске. Решая задачу, каждый из них должен пояснять свои действия.

3. Решите задачу (решают сильные ученики, объясняя каждый свой шаг). Найти tg , если: а)cos = ; б) .

Учитель: Ребята, давайте запишем формулы приведения, доказательство которых вы изучите в курсе алгебры!

sin (90° – ) = cos ; cos (90° – ) = sin при 0°

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

1. Введение

Соответствующая задача звучит просто: определение координат точки А, расположенной в верхней координатной полуплоскости (Рис. 1).

Координаты точки А определяются двумя величинами: длиной отрезка ОА и Ðα = ÐВОА (Рис. 2). Координаты точки А (х; у) следует вычислить через длину ОА и некоторую функцию от Ðα.

Мы знаем, что Ðα задает координаты, соответствующие точке М на единичной полуокружности, а значит, и координаты вектора ОМ.

Действительно, луч ОА высекает единственную точку на окружности М (Рис. 3). Ее координаты на окружности М (хм; ум) таковы, что первая из них есть cos α, а вторая – sin α. Координаты вектора ОМ совпадают с координатами точки М. Напомним, нам нужны координаты точки А.

Осталось выразить координаты вектора ОА и координаты точки А через координаты вектора ОМ (Рис. 4)

Замечаем, что Что это означает? Это означает, что Но координаты точки А (хА; уА) и координаты Из этих определений вытекает, что если Ðα меняется в пределах [0°; 180°], то – величина неотрицательная и меняется в пределах от [0; 1].

меняется в пределах [–1; 1], т. е. может быть как положительным, так и отрицательным. Он является положительным, когда угол меняется в пределах [0; 90°]. И косинус отрицателен, если угол меняется в пределах [90°; 180°].

Значит, правила таковы:

1. 2. 3.

Обратимся к Рис. 5.

На этом рисунке изображена точка А и показаны ее координаты. Применяя полученные ранее формулы, запишем:

Вторая задача отличается от первой лишь месторасположением точки А (Рис. 6)

Задача 2. Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α. Найдите координаты точки А, если ОА =1,5, α = 90°.

После того как будет сделан Рис. 6, решение становится очевидным: координаты точки А это (0; 1,5).

Но тем не менее воспользуемся выведенными формулами.

Для решения снова воспользуемся полученными формулами:

В следующей задаче (Рис. 8) точка А лежит на оси х.

Задача 4. Найдите координаты точки А, если ОА = 1; α = 180°.

В общем-то, решение очевидно: А (–1; 0), но важно вспомнить основные формулы, а в них присутствуют синус и косинус 180°.

Последняя задача: α = 30°; ОА = 2. Рис. 9 поясняет сказанное. Найти координаты точки А.

Согласно общим формулам,

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector