Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом "%".
| 1% | = | 1 | = | 0.01 |
| 100 |
Соотношения между десятичными дробями и процентами
- Для преобразования десятичной дроби в проценты, ее необходимо умножить на 100.
Например: 4 = 400%; 0.4 = 40%; 0.04 = 4%; 0.004 = 0.4%. - Для преобразования процентов в десятичную дробь необходимо число процентов разделить на 100.
Например: 500% = 5; 50% = 0.5; 5% = 0.05; 0.5% = 0.005.
Наиболее распространенные типы задач на проценты
- Найти указанный процент от заданного числа.
- Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.
- Найти процентное выражение одного числа от другого.
- Найти число на заданный процент большее (меньшее) исходного числа.
- Найти число, зная значение числа большего (меньшего) от исходного на заданный процент.
- Найти сложные проценты.
Метод решения задач с процентами
Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами, выводятся из пропорции
Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:
все – 100% часть – часть в %
которые можно записать в виде пропорции
| все | = | 100% |
| часть | часть в % |
Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты.
Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Наверняка ты терпеть не можешь слово «процент».
Но это чувство у тебя скоро исчезнет. Чтобы это произошло, мы разберем что такое процент, как проценты "превращаются" в десятичные дроби и как изменять число на такой-то процент.
Решим несколько задачек.
И все будет просто.
Table of Contents
Что такое процент?
Откуда взялось это слово?
Все очень просто. Слово процент произошло от латинского per cent– на сотню, и означает оно «сотая доля» или «сотая часть».
То есть один процент любого числа – это одна сотая этого числа.
Этого достаточно, чтобы решать задачи, в которых присутствует это противное слово «процент».
Например: чему равны от числа ?
Прочтем это задание по-другому: чему равны сотых доли числа ?
Нужно разделить число на частей (чтобы узнать, чему равна одна сотая доля – один процент) и взять таких части.
Теперь запишем это на языке математики:
Теперь другой пример.
Сколько процентов содержится в числе?
Снова перефразируем вопрос, заменив слово «процент» на «сотую часть»:
Сколько сотых частей находится в числе?
Ответ сразу становится очевидным: в любом числе или предмете находится ровно сто сотых частей (то есть, если разделить число или предмет на частей, сколько будет этих частей? Очевидно же, что ).
Разберем еще несколько примеров.
- Чему равны от числа ?
- Чему равно число, которого равны ?
- Сколько процентов составляет число от числа ?
Решения:
1) И снова избавимся от слова «процент». Получим такой вопрос:
Чему равны сотых числа ?
Может показаться странным, что у нас целых – ведь мы уже выяснили, что в числе всего . Но с математической точки зрения ничего странного, ведь процент – это всего лишь одна сотая от числа. Почему нельзя одну сотую числа взять раз? Можно, ведь по сути это – просто число.
2) Итак, от числа равны . Можем составить простенькое уравнение:
Ты заметил, что я сразу же вместо написал ?
И правда, один процент – это одна сотая, а значит, процентов – это сотых. Ты можешь тоже так делать.
3) Обозначим искомое количество процентов буквой . Тогда от числа равно . Или, что то же самое, сотых от числа равно :
Проценты и десятичные дроби
В разобранных выше примерах мы убедились, что вместо знака процента % можно писать , или просто разделить на .
То есть, – это то же самое, что ; – это и так далее.
Но ведь любую из этих дробей можно записать компактнее: в виде десятичной дроби.
Например:
Значит, проценты можно записать в виде десятичной дроби.
Правило перевода такое: сколько бы ни было процентов, смещаем десятичную запятую на два знака влево и убираем значок % – и таким образом получаем обычное число.
Данное правило будем теперь всегда применять сразу.
Например:
1) Чему равны от числа ?
Вместо напишем что? . Итак, .
2) от какого числа равны ?
Изменение числа на сколько-то процентов
Когда говорят, что число увеличилось на , это значит, что к числу надо прибавить .
Если же число уменьшилось на , это значит, что из числа надо вычесть .
Рассмотрим пример:
Цена холодильника в магазине за год увеличилась на . Какой стала цена, если изначально холодильник стоил руб?
Решение:
Для начала определим, на сколько рублей изменилась (в данном случае – увеличилась) стоимость холодильника.
Конечно же, от самой начальной стоимости холодильника – руб.
Получается, что нам нужно найти от руб:
Теперь мы знаем, что цена увеличилась на руб.
Остается только, согласно правилу, прибавить к начальной стоимости величину изменения:
Новая цена рублей.
Еще пример (постарайся решить самостоятельно):
Книга «Математика для чайников» в магазине стоит руб. Во время акции все книги продаются со скидкой
Сколько теперь придется заплатить за эту книгу?
Решение:
Что такое скидка, ты наверняка знаешь? Скидка в означает, что стоимость товара уменьшили на
На сколько уменьшилась стоимость книги (в рублях)?
Нужно найти от начальной ее стоимости в руб:
Цена уменьшилась, значит нужно из начальной стоимости вычесть то, на сколько она уменьшилась:
Новая цена рублей.
Правда ведь просто?
Но есть способ сделать это решение еще проще и короче!
Рассмотрим пример:
Увеличьте число на .
Как мы уже выяснили раньше, это будет .
Теперь увеличим само число x на эту величину:
Получается, что в результате мы к десятичной записи прибавили и умножили на число .
Обобщим это правило:
Пусть нам нужно увеличить число на .
Тогда новое число будет равно: .
| Чтобы увеличить число на , нужно умножить его на . |
Например, увеличим число на :
А теперь попробуй сам:
- Увеличить число на
- Увеличить число на
- На сколько процентов число больше числа ?
Решения:
3) Пусть искомое количество процентов равно .
Это значит, что если число увеличить на , получится :
Если число x надо уменьшить на , все аналогично:
Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:
Итак, правило:
| Чтобы уменьшить число на , нужно умножить его на . |
Примеры:
1) Уменьшить число на .
2) На сколько процентов число меньше числа ?
3) Цена товара со скидкой в равна р. Чему равна цена без скидки?
Решения:
2) Число уменьшили на x процентов и получили :
3) Пусть цена без скидки равна . Получается, что x уменьшили на и получили :
Напоследок рассмотрим еще один тип задач, частенько вызывающих недоумение.
Решение сложных задач на проценты
Число больше числа на . На сколько процентов число меньше числа ?
Что за странный вопрос: конечно же на !
Если, например, масса одного шкафа на 25 кг больше массы другого, то, без сомнения, масса второго шкафа на 25 кг меньше массы первого.
Но с процентами так не прокатит!
Ведь в первом случае, когда говорим, что число на больше числа , мы считаем от числа ; а во втором случае, когда говорим, что число на меньше числа , мы считаем от числа . А поскольку числа и разные, то и от этих чисел будут разными!
Чтобы решить эту задачу верно, давай запишем условие в виде уравнения:
Число больше числа на . Это значит, что если число увеличить на , получим число :
Теперь в таком ж виде запишем вопрос: если число a уменьшить на процентов, получим число :
Выразим число из равенства (1):
И подставим в (2):
Отсюда следует, что:
Итак, получаем, что число на меньше числа !
Подобные задачи часто попадаются в ЕГЭ
Например:
В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Решение:
Пусть цена акции в понедельник была равна , а искомое количество процентов, записанное в виде десятичной дроби (то есть, уже поделенное на ), равно .
Запишем формулой, чему равна стоимость акции после подорожания:
Далее, эту новую стоимость уменьшили на процентов:
При этом известно, что эта конечная цена на меньше начальной цены . То есть, если уменьшить на , получим :
Подставим , выраженное ранее:
Согласно здравому смыслу подходит только положительное решение:
Вспомним теперь, что это пока только десятичная запись искомого количества процентов, то есть это количество процентов, деленное на . Чтобы перевести в проценты, нужно домножить на 100%:
Где мы используем проценты в жизни?
Ну например в банковских продуктах: вкладах, кредитах, ипотеке и т.д
Если ты хорошо понимаешь, что такое проценты и умеешь решать уравнения, то ты без труда расчитаешь, например, размер ежемесячного платежа по кредиту.
Или сколько придется переплатить, взяв ипотеку. Такая задача есть в ЕГЭ под номером 17.
Проценты. Коротко о главном
Один процент любого числа – это одна сотая этого числа.
1. Проценты и десятичные дроби
2. Изменение числа на сколько-то процентов
Допустим, нужно увеличить число на .
Тогда, новое число будет равно: .
Чтобы увеличить число на , нужно умножить его на .
Если число надо уменьшить на , то :
Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:
Чтобы уменьшить число на , нужно умножить его на .
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,
А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений.
В нашей повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, в которых необходимо что-то высчитать. Это может быть определение суммы выплат для погашения потребительского кредита, процентные скидки в магазинах или расчёт показателя инфляции. Давайте разберёмся, каким образом можно найти процент от какого-либо числа, а также приведём ряд соответствующих формул с подробными примерами.
Особенности поиска процента от числа
Как известно, само слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что в переводе означает «со ста». Соответственно, под этим термином обычно понимается сотая часть от целого (или доля от целого). Процент обозначается всем нам известным знаком «%».
Нахождение процента требуется в трёх основных случаях:
- требуется найти долю от числа;
- определить соотношение чисел;
- найти базовое число исходя из его же процента.
Для нахождения этого параметра существуют различные варианты формул и способов решения. Давайте рассмотрим их пристальнее.
Формулы для определения необходимой доли от суммы
Есть несколько способов найти требуемый процент от любого числа.
Первый способ состоит в делении нужной суммы на 100, после чего полученный результат умножается на % который необходимо определить.
Формула расчёта в данном случае выглядит так:
В данной формуле A – это базовое число, из которого нужно извлечь долю.
B – процент, который необходимо высчитать в числовом выражении.
Например, в каком-либо магазине вам отдают товар, цена которого 500 рублей, за 70% его стоимости. Используя приведённую выше формулу, высчитываем, сколько нам необходимо заплатить в конечном итоге (или сколько будет 70% от 500 рублей):
500 / 100 * 70 = 350 рублей
Таким образом, мы сможем приобрести нужный товар за 350 рублей.
Второй способ состоит в умножении базового числа A на коофициент 0, B
Где А – это базовое число, а B – количество процентов, которые необходимо определить.
Формула имеет следующую форму:
В случае упомянутого выше примера с 70% стоимости от 500 высчитываем стоимость товара:
Третий способ состоит в умножении базового числа на количество процентов, после чего полученный результат делим на 100.
Формула выглядит следующим образом:
В нашем случае это:
500 * 70 / 100 = 350
На калькуляторе нужная доля от числа находится ещё проще:
- Набираете на калькуляторе базовое число (А).
- Жмёте на умножить, вводите искомое число процентов.
- После чего жмёте на кнопку %, а затем на кнопку =. Калькулятор тот час же отобразит требуемый результат.
Одна из задач на вычисление проц
Как найти процентное соотношение чисел
Также могут возникнуть ситуации, когда нужно высчитать процентное соотношение двух чисел. К примеру, какой процент число B составляет от числа А, на сколько процентов (B) вы выполнили свою работу от заданной нормы (A), на сколько (B) повысилась цена товара от первоначальной (A) и так далее.
Для определения такого результата существуют следующая формула:
К примеру, нам нужно высчитать, какая доля от числа 500 составляет число 85.
Используя приведённую формулу, выполняем несложные арифметические операции:
85 / 500 * 100 = 17%
Таким образом, число 85 составляет 17% от 500.
Проверяем полученное число по формуле первого способа:
500 / 100 * 17 = 85.
Определение соотношения чисел
Как найти базовую сумму исходя из ее процента
В некоторых случаях нам может быть известно какое-либо число и процент, которое оно составляет от базового числа. Нам необходимо определить значение. Например, нам может быть дана сумма 67, которое составляет 23% от базового числа. Каково же само базовое число?
Для решения этой задачи нам необходимо 67 разделить на 23 и умножить на 100. Формула вычисления процента выглядит следующим образом:
67 / 23 * 100 = 293, 31 (десятые после запятой можем округлить)
Проверяем полученный результат с помощью формулы из первого способа:
293, 31 / 100 * 23 = 67
Онлайн-сервисы для вычислений
В нахождении нужных процентов могут помочь различные сервисы-калькуляторы, работающие в режиме онлайн. Например, популярный сайт fin-calc.org.ua имеет в своём функционале различные инструменты, помогающие, в том числе, высчитать процент от любого числа.
- Перейдите на fin-calc.org.ua.
- Введите искомые показатели в соответствующие клетки.
- Нажмите на «Рассчитать». Вы сразу же получите искомый результат.
Калькуляционные вычисления на fin-calc.org.ua
Также указанный калькулятор позволяет высчитать какую долю от 1 составляет 2, прибавить % к числу или вычесть из него. Всё очень быстро и удобно.
Заключение
В нашем материале мы разобрали, каким образом можно найти процент от любого числа, а также привели формулы с различными примерами. Наиболее просто высчитать долю с помощью калькулятора, который имеется в абсолютном большинстве современных гаджетов.