Чему равно произведение логарифмов с одинаковым основанием

Произведение логарифмов, задание на ЕГЭ. Здравствуйте! В этой публикации мы с вами рассмотрим неравенство с логарифмами. Напоминаю, что это задача оценивается в 2 первичных балла (это 4 тестовых). Итак, пример:

Известно, что по определению логарифма его основание и подлогарифмическое выражение больше нуля и основание не равно единице. Определим ограничения для х (ОДЗ):

По эскизу видно (пересечение всех «веток») что х∊(–2; 1) U (1;2). Мы учли что х≠–1.

Решаем неравенство. Используем метод интервалов, приравняем множители к нулю и вычислим х:

Отметим на числовой оси полученные значения.

Внимание! Также сразу отметим интервалы ограничений, которые установили ранее (ОДЗ), в том числе и точку х=1. *Дело в том, что в исключённых точках выражение может изменять свой знак. Точка х=–1 входит в ОДЗ, она будет являться решением, закрашиваем её:

Определяем знаки на интервалах. Понимая как на координатной плоскости расположен график логарифмической функции определить значение не составляет никакого труда. Итак:

При значении 0,5 и основании большем единицы значение функции отрицательно.

При значении 4,5 и основании большем единицы значение функции положительно.

*Комментарий: конечно же не обязательно вычислять логарифмы, нам достаточно знать какой будет знак «+» или «–».

Если х=1,5 то

При значении 3,5 и основании меньше единицы значение функции отрицательно.

При значении 1,5 и основании больше единицы значение функция положительно.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Зачем в жизни нужны логарифмы?

Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда.

Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением!

Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!

То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления.

Как научиться решать логарифмы?

Логарифмы – ОЧЕНЬ ПРОСТАЯ ТЕМА!

Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма и понимать что как называется, понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными).

Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).

Все. Больше ничего не нужно.

Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy – очень легкой 🙂

Что такое логарифм?

Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

Начнем с простого. Как решить уравнение ?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число чтобы получить ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).

Следующий вопрос. Как решить уравнение ?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число , чтобы получить число ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное. Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм: . В общем виде он записывается так:

То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание , чтобы получить аргумент .

Вернёмся к . Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?

В нашем случае решение уравнения можно записать как или как .

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

Выражение можно также записать в виде . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».

Теперь более общая запись:

Читается так: «Логарифм по основанию от равен », и означает: «Чтобы получить число , нужно число возвести в степень »:

Иными словами, – это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .

Примеры вычисления логарифмов

1. , так как число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить .
2. Чему равен ? Заметим, что , тогда , то есть нужно возвести в степень , чтобы получить .
3. А чему равен ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить как в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: . Значит, .
4. Еще пример. Чему равен ? В какую степень надо возвести , чтобы получить ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит, . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен .
5. . В этом случае аргумент равен корню основания: . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): .

Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно: вместо , например:

Когда нужная степень не подбирается

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например, . Видим, что это число расположено между и , и это понятно: ведь это значит, чтобы получить , нужно возводить в степень больше , но меньше .

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так: , или даже так: .

Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить , высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:

Примеры для самостоятельной работы

Ответы на примеры для самостоятельной работы:

1. ;
2. , но никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто: ;
3. ;
4. . Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому ;
5. ;
6. . Очевидно, и здесь степень придумать не удастся: .

Кстати, ответы типа или можно упростить – сделать числа поменьше. Как это сделать, и зачем – об этом чуть позже, в разделе «Свойства логарифмов».

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться .

Начнем с простого: допустим, что . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили , всегда получается . Более того, не существует ни для какого . Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине – в любой степени равно ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае : в любой положительной степени – это , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ).

При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть ), а вот не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Вспомним определение: логарифм – это степень, в которую надо возвести основание , чтобы получить аргумент . И по условию, эта степень равна : .

Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна , а произведение . Легко подобрать, это числа и .

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

– это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни и , сразу отбросим корень , и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

Найдите корень уравнения . Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

В первую очередь напишем ОДЗ:

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание , чтобы получить аргумент ? Во вторую. То есть:

Казалось бы, меньший корень равен . Но это не так: согласно ОДЗ корень – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: .

Ответ: .

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

Подставим во второе равенство вместо логарифм:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

– это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .

Реши еще следующие примеры:

Пример 2.

Найдите значение выражения .

Решение:

Вспомним правило из раздела «Степень и ее свойства»: , то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:

Пример 3.

Решение:

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов. Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

0, ext< > e ext <1> ight) ext< >Rightarrow ext< >8. ext< ><<log >_>b=frac<1><<<log >_>a>, ext< >left( b e 1 ight).end">

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1:

Доказательство:

Свойство 2: Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: .

Пусть , тогда . Пусть , тогда .

Пример: Найдите значение выражения: .

Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот – «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
.
Зачем это нужно? Ну например: чему равно ?

Теперь очевидно, что .

Теперь упрости сам:

Задачи:

Ответы:

Свойство 3: Разность логарифмов:

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного: .

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть , тогда . Имеем:

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

Пример посложнее: . Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Логарифмы обладают рядом характерных свойств. В этой статье мы разберем основные свойства логарифмов. Здесь мы дадим их формулировки, запишем свойства логарифмов в виде формул, покажем примеры их применения, а также приведем доказательства свойств логарифмов.

Навигация по странице.

Основные свойства логарифмов, формулы

Для удобства запоминания и использования представим основные свойства логарифмов в виде списка формул. В следующем пункте дадим их формулировки, доказательства, примеры использования и необходимые пояснения.

1. Свойство логарифма единицы: log_a1=0 для любого a>0 , a≠1 .
2. Логарифм числа, равного основанию: log_aa=1 при a>0 , a≠1 .
3. Свойство логарифма степени основания: log_aa p =p , где a>0 , a≠1 и p – любое действительное число.
4. Логарифм произведения двух положительных чисел: log_a(x·y)=log_ax+log_ay , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
   и свойство логарифма произведения n положительных чисел: log_a(x₁·x₂·…·x_n)= log_ax₁+log_ax₂+…+log_ax_n , a>0 , a≠1 , x₁>0, x₂>0, …, x_n>0 .
5. Свойство логарифма частного: , где a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .
6. Логарифм степени числа: log_ab p =p·log_a|b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .

• Следствие: , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .

• Следствие 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
• Следствие 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p и q – действительные числа, q≠0 , в частности при b=a имеем .

Формулировки и доказательства свойств

Переходим к формулированию и доказательству записанных свойств логарифмов. Все свойства логарифмов доказываются на основе определения логарифма и вытекающего из него основного логарифмического тождества, а также свойств степени.

Начнем со свойства логарифма единицы. Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log_a1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log_a1=0 сразу следует из определения логарифма.

Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log₃1=0 , lg1=0 и .

Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице, то есть, log_aa=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log_aa=1 .

Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log₅5=1 , log_5,65,6 и lne=1 .

Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, равен показателю степени. Этому свойству логарифма отвечает формула вида log_aa p =p , где a>0 , a≠1 и p – любое действительное число. Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.

К примеру, log₂2 7 =7 , lg10 -4 =-4 и .

Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log_a(x·y)=log_ax+log_ay , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log_ax+log_ay =a log_ax ·a log_ay , а так как по основному логарифмическому тождеству a log_ax =x и a log_ay =y , то a log_ax ·a log_ay =x·y . Таким образом, a log_ax+log_ay =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log₅(2·3)=log₅2+log₅3 и .

Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x₁, x₂, …, x_n как log_a(x₁·x₂·…·x_n)= log_ax₁+log_ax₂+…+log_ax_n . Данное равенство без проблем доказывается методом математической индукции.

Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .

Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .

Приведем пример использования этого свойства логарифма: .

Переходим к свойству логарифма степени. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log_ab p =p·log_a|b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .

Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log_ab , тогда b p =(a log_ab ) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log_ab . Так мы приходим к равенству b p =a p·log_ab , из которого по определению логарифма заключаем, что log_ab p =p·log_ab .

Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log_ab p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log_a|b| ) p =a p·log_a|b| , откуда log_ab p =p·log_a|b| .

Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня: логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .

Доказательство базируется на равенстве (смотрите определение степени с дробным показателем), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени: .

Вот пример использования этого свойства: .

Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства log_cb=log_ab·log_ca . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a log_ab , тогда log_cb=log_ca log_ab . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log_ca log_ab =log_ab·log_ca . Так доказано равенство log_cb=log_ab·log_ca , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .

Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .

Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что log_ab и log_ba – взаимно обратные числа. К примеру, .

Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a : .

Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a₁>1 , a₂>1 и a₁2 и при 0 выполняется log_a1b≥log_a2b , а при b>1 справедливо log_a1b≤log_a2b . По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что log_ba₁≤log_ba₂ и log_ba₁≥log_ba₂ соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log_ba₁ ≥b log_ba₂ и b log_ba₁ ≥b log_ba₂ , то есть, a₁≥a₂ . Так мы пришли к противоречию условию a₁2 . На этом доказательство завершено.