Произведение логарифмов, задание на ЕГЭ. Здравствуйте! В этой публикации мы с вами рассмотрим неравенство с логарифмами. Напоминаю, что это задача оценивается в 2 первичных балла (это 4 тестовых). Итак, пример:
Известно, что по определению логарифма его основание и подлогарифмическое выражение больше нуля и основание не равно единице. Определим ограничения для х (ОДЗ):
По эскизу видно (пересечение всех «веток») что х∊(–2; 1) U (1;2). Мы учли что х≠–1.
Решаем неравенство. Используем метод интервалов, приравняем множители к нулю и вычислим х:
Отметим на числовой оси полученные значения.
Внимание! Также сразу отметим интервалы ограничений, которые установили ранее (ОДЗ), в том числе и точку х=1. *Дело в том, что в исключённых точках выражение может изменять свой знак. Точка х=–1 входит в ОДЗ, она будет являться решением, закрашиваем её:
Определяем знаки на интервалах. Понимая как на координатной плоскости расположен график логарифмической функции определить значение не составляет никакого труда. Итак:
При значении 0,5 и основании большем единицы значение функции отрицательно.
При значении 4,5 и основании большем единицы значение функции положительно.
*Комментарий: конечно же не обязательно вычислять логарифмы, нам достаточно знать какой будет знак «+» или «–».
Если х=1,5 то
При значении 3,5 и основании меньше единицы значение функции отрицательно.
При значении 1,5 и основании больше единицы значение функция положительно.
Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Зачем в жизни нужны логарифмы?
Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда.
Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением!
Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!
То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления.
Как научиться решать логарифмы?
Логарифмы – ОЧЕНЬ ПРОСТАЯ ТЕМА!
Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма и понимать что как называется, понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными).
Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).
Все. Больше ничего не нужно.
Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy – очень легкой 🙂
Что такое логарифм?
Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.
Начнем с простого. Как решить уравнение ?
Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число чтобы получить ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).
Следующий вопрос. Как решить уравнение ?
Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число , чтобы получить число ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное. Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм: . В общем виде он записывается так:
То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание , чтобы получить аргумент .
Вернёмся к . Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…
Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?
В нашем случае решение уравнения можно записать как или как .
Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».
Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.
Выражение можно также записать в виде . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».
Теперь более общая запись:
Читается так: «Логарифм по основанию от равен », и означает: «Чтобы получить число , нужно число возвести в степень »:
Иными словами, – это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .
Примеры вычисления логарифмов
- , так как число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить .
- Чему равен ? Заметим, что , тогда , то есть нужно возвести в степень , чтобы получить .
- А чему равен ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить как в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: . Значит, .
- Еще пример. Чему равен ? В какую степень надо возвести , чтобы получить ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит, . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен .
- . В этом случае аргумент равен корню основания: . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): .
Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:
Десятичные логарифмы
Логарифм по основанию называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно: вместо , например:
Когда нужная степень не подбирается
Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.
Например, . Видим, что это число расположено между и , и это понятно: ведь это значит, чтобы получить , нужно возводить в степень больше , но меньше .
На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так: , или даже так: .
Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:
Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить , высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:
Примеры для самостоятельной работы
Ответы на примеры для самостоятельной работы:
- ;
- , но никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто: ;
- ;
- . Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому ;
- ;
- . Очевидно, и здесь степень придумать не удастся: .
Кстати, ответы типа или можно упростить – сделать числа поменьше. Как это сделать, и зачем – об этом чуть позже, в разделе «Свойства логарифмов».
Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма
Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).
Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:
То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться .
Начнем с простого: допустим, что . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили , всегда получается . Более того, не существует ни для какого . Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине – в любой степени равно ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.
Похожая проблема у нас и в случае : в любой положительной степени – это , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ).
При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть ), а вот не существует.
Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.
Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).
В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:
Вспомним определение: логарифм – это степень, в которую надо возвести основание , чтобы получить аргумент . И по условию, эта степень равна : .
Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна , а произведение . Легко подобрать, это числа и .
Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?
– это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень – «сторонний».
Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:
Тогда, получив корни и , сразу отбросим корень , и напишем правильный ответ.
Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):
Найдите корень уравнения . Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.
Решение:
В первую очередь напишем ОДЗ:
Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание , чтобы получить аргумент ? Во вторую. То есть:
Казалось бы, меньший корень равен . Но это не так: согласно ОДЗ корень – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: .
Ответ: .
Основное логарифмическое тождество
Вспомним определение логарифма в общем виде:
Подставим во второе равенство вместо логарифм:
Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:
– это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .
Реши еще следующие примеры:
Пример 2.
Найдите значение выражения .
Решение:
Вспомним правило из раздела «Степень и ее свойства»: , то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:
Пример 3.
Решение:
Свойства логарифмов
К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов. Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.
Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.
0, ext< > e ext <1> ight) ext< >Rightarrow ext< >8. ext< ><<log >_>b=frac<1><<<log >_>a>, ext< >left( b e 1 ight).end |
А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.
Свойство 1:
Доказательство:
Свойство 2: Сумма логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: .
Пусть , тогда . Пусть , тогда .
Пример: Найдите значение выражения: .
Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот – «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
.
Зачем это нужно? Ну например: чему равно ?
Теперь очевидно, что .
Теперь упрости сам:
Задачи:
Ответы:
Свойство 3: Разность логарифмов:
Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного: . |
Доказательство:
Все точно так же, как и в пункте 2:
Пусть , тогда . Имеем:
Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:
Пример посложнее: . Догадаешься сам, как решить?
Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению – такое сразу не упростить.
Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!
Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.
Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?
Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:
Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?
Логарифмы обладают рядом характерных свойств. В этой статье мы разберем основные свойства логарифмов. Здесь мы дадим их формулировки, запишем свойства логарифмов в виде формул, покажем примеры их применения, а также приведем доказательства свойств логарифмов.
Навигация по странице.
Основные свойства логарифмов, формулы
Для удобства запоминания и использования представим основные свойства логарифмов в виде списка формул. В следующем пункте дадим их формулировки, доказательства, примеры использования и необходимые пояснения.
- Свойство логарифма единицы: loga1=0 для любого a>0 , a≠1 .
- Логарифм числа, равного основанию: logaa=1 при a>0 , a≠1 .
- Свойство логарифма степени основания: logaa p =p , где a>0 , a≠1 и p – любое действительное число.
- Логарифм произведения двух положительных чисел: loga(x·y)=logax+logay , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
и свойство логарифма произведения n положительных чисел: loga(x1·x2·…·xn)= logax1+logax2+…+logaxn , a>0 , a≠1 , x1>0, x2>0, …, xn>0 . - Свойство логарифма частного:
, где a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .
- Логарифм степени числа: logab p =p·loga|b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .
- Следствие:
, где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .
- Следствие 1:
, a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
- Следствие 2:
, a>0 , a≠1 , b>0 , p и q – действительные числа, q≠0 , в частности при b=a имеем
.
Формулировки и доказательства свойств
Переходим к формулированию и доказательству записанных свойств логарифмов. Все свойства логарифмов доказываются на основе определения логарифма и вытекающего из него основного логарифмического тождества, а также свойств степени.
Начнем со свойства логарифма единицы. Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, loga1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство loga1=0 сразу следует из определения логарифма.
Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log31=0 , lg1=0 и .
Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице, то есть, logaa=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма logaa=1 .
Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log55=1 , log5,65,6 и lne=1 .
Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, равен показателю степени. Этому свойству логарифма отвечает формула вида logaa p =p , где a>0 , a≠1 и p – любое действительное число. Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.
К примеру, log22 7 =7 , lg10 -4 =-4 и .
Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: loga(x·y)=logax+logay , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a logax+logay =a logax ·a logay , а так как по основному логарифмическому тождеству a logax =x и a logay =y , то a logax ·a logay =x·y . Таким образом, a logax+logay =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.
Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log5(2·3)=log52+log53 и .
Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x1, x2, …, xn как loga(x1·x2·…·xn)= logax1+logax2+…+logaxn . Данное равенство без проблем доказывается методом математической индукции.
Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и
.
Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как
, то по определению логарифма
.
Приведем пример использования этого свойства логарифма: .
Переходим к свойству логарифма степени. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: logab p =p·loga|b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .
Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a logab , тогда b p =(a logab ) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·logab . Так мы приходим к равенству b p =a p·logab , из которого по определению логарифма заключаем, что logab p =p·logab .
Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение logab p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a loga|b| ) p =a p·loga|b| , откуда logab p =p·loga|b| .
Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня: логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .
Доказательство базируется на равенстве (смотрите определение степени с дробным показателем), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени:
.
Вот пример использования этого свойства: .
Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства logcb=logab·logca . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a logab , тогда logcb=logca logab . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: logca logab =logab·logca . Так доказано равенство logcb=logab·logca , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма
.
Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и
.
Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.
Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что logab и logba – взаимно обратные числа. К примеру,
.
Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида
. Имеем
. Для доказательства формулы
достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a :
.
Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.
Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a1>1 , a2>1 и a12 и при 0 выполняется loga1b≥loga2b , а при b>1 справедливо loga1b≤loga2b . По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и
соответственно, а из них следует, что logba1≤logba2 и logba1≥logba2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b logba1 ≥b logba2 и b logba1 ≥b logba2 , то есть, a1≥a2 . Так мы пришли к противоречию условию a12 . На этом доказательство завершено.