Частное суммы и разности биномов

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса "Алгебра" за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

  1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
  2. формула квадрата разности: a – b 2 = a 2 – 2 a b + b 2
  3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
  4. формула куба разности: a – b 3 = a 3 – 3 a 2 b + 3 a b 2 – b 3
  5. формула разности квадратов: a 2 – b 2 = a – b a + b
  6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 – a b + b 2
  7. формула разности кубов: a 3 – b 3 = a – b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы – соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n – 1 · b + C n 2 · a n – 2 · b 2 + . . + C n n – 1 · a · b n – 1 + C n n · b n

Здесь C n k – биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · ( n – k ) ! = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) . . ( n – ( k – 1 ) ) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы – это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n – 1 a n

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится – формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n – b n = a – b a n – 1 + a n – 2 b + a n – 3 b 2 + . . + a 2 b n – 2 + b n – 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы – соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m – b 2 m = a 2 – b 2 a 2 m – 2 + a 2 m – 4 b 2 + a 2 m – 6 b 4 + . . + b 2 m – 2

Читайте также:  H 264 opera linux

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 – b 2 m + 1 = a 2 – b 2 a 2 m + a 2 m – 1 b + a 2 m – 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на – b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a – b 2 = a 2 – 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a – b 3 = a 3 – 3 a 2 b + 3 a b 2 – b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 – b 2 = a – b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 – a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a – b 2 = a 2 – 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a – b 2 = a – b a – b .

a – b a – b = a 2 – a b – b a + b 2 = a 2 – 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения – быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Упростим выражение 9 y – ( 1 + 3 y ) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y – ( 1 + 3 y ) 2 = 9 y – ( 1 + 6 y + 9 y 2 ) = 9 y – 1 – 6 y – 9 y 2 = 3 y – 1 – 9 y 2

Сократим дробь 8 x 3 – z 6 4 x 2 – z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе – разность кубов, а в знаменателе – разность квадратов.

8 x 3 – z 6 4 x 2 – z 4 = 2 x – z ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x – z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 – z 6 4 x 2 – z 4 = ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное – уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 – 1 ; 79 2 = 80 – 1 2 = 6400 – 160 + 1 = 6241 .

Читайте также:  Автокормушка для кошек ардуино

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент – выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x – 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 – 4 = 2 x + 1 2 – 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Бином Ньютона. (полиномиальная формула)

В дальнейшем будет получена формула бинома Ньютона с помощью приемов дифференциального исчисления.

Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение ( a + b ) n в виде многочлена. Эта формула имеет вид :

– число сочетаний из п элементов по k .

Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.

Когда степень бинома невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).

Этот треугольник имеет вид:

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых.

Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.

Пример 4.7. Найти .

Решение. Имеем: = 5. Обозначим t = 5x. При x ® 0 имеем: t ® 0. Применяя формулу (3.10), получим 5.

Пример 4.8. Вычислить .

Решение. Обозначим y= p -x. Тогда при x ® p , y ® 0.Имеем:

sin 3x = sin 3( p -y) = sin (3 p -3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4( p -y) = sin (4 p -4y)= – sin 4y.

=- .

Пример 4.9. Найти .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x ® 0 t ® 0. =.

Пример 4.10. Найти 1) ; 2) ; 3) .

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: =.

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:

=.

Так как (x+1) ¹ 0, то, по теореме о пределе частного, найдем

= = .

3. Числитель и знаменатель при x ® ¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

=.

Откровенно говоря, эти формулы должен помнить любой ученик седьмого класса. Изучать алгебру даже на школьном уровне и не знать формулу разности квадратов или, скажем, квадрата суммы, просто невозможно. Они постоянно встречаются при упрощении алгебраических выражений, при сокращении дробей и даже могут помочь в арифметических вычислениях. Ну, например, вам нужно вычислить в уме: 3,16 2 – 2 &#x2022 3,16 &#x2022 1,16 + 1,16 2 . Если вы начнете считать это "в лоб", получится долго и скучно, а если воспользуетесь формулой квадрата разности, ответ получите за 2 секунды!

Читайте также:  Стиральная машина вирпул ошибка е06

Итак, семь формул "школьной" алгебры, которые должны знать все:

Название Формула
Квадрат суммы (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
Квадрат разности (A – B) 2 = A 2 – 2AB + B 2
Разность квадратов (A – B)(A + B) = A 2 – B 2
Куб суммы (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
Куб разности (A – B) 3 = A 3 – 3A 2 B + 3AB 2 – B 3
Сумма кубов A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 )
Разность кубов A 3 – B 3 = (A – B)(A 2 + AB + B 2 )

Обратите внимание: никакой формулы суммы квадратов не существует! Не позволяйте своей фантазии заходить слишком далеко.

Как проще всего запомнить все эти формулы? Ну, скажем, увидеть определенные аналогии. Например, формула квадрата суммы похожа на формулу квадрата разности (отличие лишь в одном знаке), а формула куба суммы – на формулу куба разности. Далее, в составе формул разности кубов и суммы кубов мы видим нечто похожее на квадрат суммы и квадрат разности (только коэффициента 2 не хватает).

Но лучше всего эти формулы (как и любые другие!) запоминаются на практике. Решайте больше примеров на упрощение алгебраических выражений, и все ф-лы запомнятся сами собой.

Любознательным школьникам будет, вероятно, интересно обобщить приведенные факты. Вот, скажем, существуют формулы квадрата и куба суммы. А что, если рассмотреть выражения типа (A + B) 4 , (A + B) 5 и даже (A + B) n , где n – произвольное натуральное число? Можно ли увидеть здесь какую – либо закономерность?

Да, подобная закономерность существует. Выражение вида (A + B) n называется биномом Ньютона. Я рекомендую пытливым школьникам самим вывести формулы для (A + B) 4 и (A + B) 5 , а далее попытаться увидеть общий закон: сравнить, например, степень соответствующего бинома и степень каждого из слагаемых, которые получаются при раскрытии скобок; сравнить степень бинома с количеством слагаемых; попытаться найти закономерности в коэффициентах. Мы не будем сейчас углубляться в эту тему (для этого нужен отдельный разговор!), а лишь запишем готовый результат:

(A + B) n = A n + C n 1 A n-1 B + C n 2 A n-2 B 2 + . + C n k A n-k B k + . + B n .

Здесь C n k = n!/(k! &#x2022 (n-k)!).

Напоминаю, что n! – это 1 &#x2022 2 &#x2022 . &#x2022 n – произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Называется это выражение факториалом числа n . Например, 4! = 1 &#x2022 2 &#x2022 3 &#x2022 4 = 24. Факториал нуля считается равным единице!

А что можно сказать по поводу разности квадратов, разности кубов и т. п.? Существует ли здесь какая-либо закономерность? Можно ли привести общую формулу для A n – B n ?

Да, можно. Вот эта формула:

A n – B n = (A – В)(A n-1 + A n-2 B + A n-3 B 2 + . + B n-1 ).

Более того, для нечетных степеней n существует аналогичная ф-ла и для суммы:

A n + B n = (A + В)(A n-1 – A n-2 B + A n-3 B 2 – . + B n-1 ).

Мы не будем сейчас выводить эти формулы (кстати, это не очень сложно), но знать об их существовании, безусловно, полезно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector